1. \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i \pi}{2 n} \cos \frac{i \pi}{2 n}\right) \frac{\pi}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i\pi}{2n}\cos\frac{i\pi}{2n}\right)\frac{\pi}{2n}.
Informações dadas:
  • A soma é sobre i=1,\dots,n.
  • Cada termo da soma é \left(\dfrac{i\pi}{2n}\cos\dfrac{i\pi}{2n}\right)\dfrac{\pi}{2n}.
  • Há o parâmetro n que tende para \infty.
    O que devemos encontrar: o valor numérico (ou expressão) desse limite quando n\to\infty.

Passo 2

Vamos interpretar a soma termo a termo. Note que a soma tem a forma de uma soma de termos f(x_i)\Delta x, onde:
\Delta x=\frac{\pi}{2n}
e
x_i=\frac{i\pi}{2n}.
Observe que o fator multiplicativo final em cada termo é exatamente \Delta x e que dentro do parêntese temos x_i\cos x_i. Então cada termo é f(x_i)\Delta x com
f(x)=x\cos x.
Intuição didática: uma soma do tipo \sum f(x_i)\Delta x aproxima a área sob a curva y=f(x) em um intervalo quando dividimos esse intervalo em n partes de largura \Delta x. Conforme n\to\infty a aproximação fica exata e a soma tende à integral definida.

Passo 3

Identificamos que os pontos x_i variam de
x_1=\frac{\pi}{2n},\quad x_n=\frac{n\pi}{2n}=\frac{\pi}{2},
portanto os x_i percorrem o intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] usando amostras no extremo direito de cada subintervalo. Assim a soma é uma soma de Riemann para a função f(x)=x\cos x em [0,\tfrac{\pi}{2}]. Logo o limite é a integral definida
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i\pi}{2n}\cos\frac{i\pi}{2n}\right)\frac{\pi}{2n} = \int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx.
Explicação de uma ferramenta útil: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Essa fórmula vem da regra do produto da diferenciação: (uv)'=u'v+uv'. Integrando ambos os lados e rearranjando obtemos a fórmula acima. Para usar, escolhemos u de forma que du seja mais simples, e dv de forma que possamos integrar para achar v.

Passo 5

Aplicando integração por partes à integral \int x\cos x\,dx, escolhemos
u=x\quad\Rightarrow\quad du=dx,
dv=\cos x\,dx\quad\Rightarrow\quad v=\sin x.
Usando a fórmula:
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx.
Calcule a integral remanescente:
\int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto
\int x\cos x\,dx = x\sin x - (-\cos x) = x\sin x + \cos x + C.
É sempre bom verificar: derivando x\sin x + \cos x obtemos 1\cdot\sin x + x\cos x -\sin x = x\cos x, então está correto.

Passo 6

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Temos
\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \bigl[x\sin x + \cos x\bigr]_{0}^{\pi/2}.
Calcule em \,x=\tfrac{\pi}{2}\,:
\left(\frac{\pi}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\cdot 1 + 0 = \frac{\pi}{2}.
Calcule em x=0:
0\cdot\sin 0 + \cos 0 = 0 + 1 = 1.
Subtraindo:
\int_{0}^{\pi/2} x\cos x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1.

Passo 7

Conclusão: o limite da soma de Riemann vale exatamente o valor da integral que calculamos. Portanto o limite pedido é \dfrac{\pi}{2}-1. Força aí — essa técnica aparece sempre em provas: reconhecer uma soma como soma de Riemann e transformar num integral facilita muito!

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}-1

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