Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas:
- A soma é sobre
. - Cada termo da soma é
. - Há o parâmetro
que tende para .
O que devemos encontrar: o valor numérico (ou expressão) desse limite quando.
Passo 2
Vamos interpretar a soma termo a termo. Note que a soma tem a forma de uma soma de termos
, onde:
e
Observe que o fator multiplicativo final em cada termo é exatamente
e que dentro do parêntese temos
. Então cada termo é
com
Intuição didática: uma soma do tipo
aproxima a área sob a curva
em um intervalo quando dividimos esse intervalo em
partes de largura
. Conforme
a aproximação fica exata e a soma tende à integral definida.
Passo 3
Identificamos que os pontos
variam de
portanto os
percorrem o intervalo
usando amostras no extremo direito de cada subintervalo. Assim a soma é uma soma de Riemann para a função
em
. Logo o limite é a integral definida
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral
Explicação de uma ferramenta útil: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Essa fórmula vem da regra do produto da diferenciação:
. Integrando ambos os lados e rearranjando obtemos a fórmula acima. Para usar, escolhemos
de forma que
seja mais simples, e
de forma que possamos integrar para achar
.
Passo 5
Aplicando integração por partes à integral
, escolhemos
Usando a fórmula:
Calcule a integral remanescente:
Portanto
É sempre bom verificar: derivando
obtemos
, então está correto.
Passo 6
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada. Temos
Calcule em
:
Calcule em
:
Subtraindo:
Passo 7
Conclusão: o limite da soma de Riemann vale exatamente o valor da integral que calculamos. Portanto o limite pedido é
. Força aí — essa técnica aparece sempre em provas: reconhecer uma soma como soma de Riemann e transformar num integral facilita muito!