(2,0 pontos) Considere as áreas da região sob a curva da função f(x)=e^{x} no intervalo 1 \leq x \leq 2 e no intervalo 0 \leq x \leq a. Determine a de modo que a área sob a curva no segundo intervalo seja igual ao triplo da área sob o primeiro intervalo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=e^x e pede para encontrar a tal que a área sob a curva em [0,a] seja o triplo da área em [1,2]. O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas de funções exponenciais.

Passo 2

Calcular a área A_1 sob f(x) no intervalo [1,2]. Como \int e^x\,dx=e^x, temos
A_1=\int_{1}^{2}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_{1}^{2}=e^2-e.

Passo 3

Calcular a área A_2 sob f(x) no intervalo [0,a]. Analogamente,
A_2=\int_{0}^{a}e^x\,dx=\bigl[e^x\bigr]_{0}^{a}=e^a-1.

Passo 4

Impor que A_2 seja o triplo de A_1:
e^a-1=3\,(e^2-e).
Somando 1 em ambos os lados,
e^a=3e^2-3e+1.

Passo 5

Aplicar logaritmo natural para isolar a:
a=\ln\bigl(3e^2-3e+1\bigr).

Resposta

a=\ln\bigl(3e^2-3e+1\bigr)

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