\int x^{4}+2 x^{2}-x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a primitiva (ou antiderivada) da função \displaystyle f(x)=x^{4}+2x^{2}-x.
O conteúdo de matéria é integração indefinida e vamos precisar usar a regra de potência e a propriedade da linearidade da integral.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos separar a soma em termos mais simples:
\int\bigl(x^{4}+2x^{2}-x\bigr)\,dx =\int x^{4}\,dx \;+\;2\int x^{2}\,dx \;-\;\int x\,dx.

Passo 3

A regra de potência afirma que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Logo, aplicando aos três termos:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5},\quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Agora é só recombinar os resultados e incluir a constante de integração C:
\int\bigl(x^{4}+2x^{2}-x\bigr)\,dx = \frac{x^{5}}{5} \;+\;2\cdot\frac{x^{3}}{3} \;-\;\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2\,x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C.

Resposta

\frac{x^{5}}{5} + \frac{2\,x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + C

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