\int\left(5 x^{3}-2 x+7\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de \,(5x^3 - 2x + 7)\,. Vamos usar conteúdo de integração de polinômios, ou seja, a linearidade da integral e a regra de potência:
\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Aplicando a linearidade da integral, escrevemos
\int (5x^3 - 2x + 7)\,dx = 5 \int x^3 \,dx \;-\; 2 \int x \,dx \;+\; 7 \int 1 \,dx.

Passo 3

Agora usamos a regra de potência em cada termo:
\int x^3 \,dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x \,dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1 \,dx = x.

Passo 4

Multiplicamos pelos coeficientes externos:
5 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{5x^4}{4}, \quad -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2, \quad 7 \cdot x = 7x.

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada completa:
\frac{5x^4}{4} - x^2 + 7x + C.

Resposta

\frac{5x^4}{4} - x^2 + 7x + C.

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