Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função integranda é o produto de um polinômio
e do logaritmo natural . - Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração
.
Passo 2
Qual técnica usar? Quando a integranda é um produto de uma função “difícil de integrar diretamente” (como
) por uma função algébrica (como
), o método padrão é integração por partes. Vou explicar a fórmula e o que cada termo significa.
A fórmula da integração por partes é
Aqui:
-
é uma função de que vamos derivar (obtemos ), -
é a parte que vamos integrar (obtemos tal que ), -
é o produto das primitivas/derivadas conforme a fórmula, - E
é a nova integral que aparece — costuma ser mais simples que a original.
Um truque prático para escolher
é a regra mnemônica LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial): escolher
pela ordem de prioridade (logaritmo fica antes de polinômio). Isso sugere escolher
e
.
Passo 3
Escolha das partes:
Agora calculamos
e
.
Derivando
:
Integrando
:
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Simplificar o integrando restante:
Então
Passo 6
Calcular
:
Substituindo:
Passo 7
Simplificar o resultado final:
portanto a primitiva é