1. \int x^{3} \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{3}\cdot \ln(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é o produto de um polinômio x^{3} e do logaritmo natural \ln(x).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado deve conter uma constante de integração C.

Passo 2

Qual técnica usar? Quando a integranda é um produto de uma função “difícil de integrar diretamente” (como \ln(x)) por uma função algébrica (como x^{3}), o método padrão é integração por partes. Vou explicar a fórmula e o que cada termo significa.
A fórmula da integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x que vamos derivar (obtemos du),
  • dv é a parte que vamos integrar (obtemos v tal que dv = v'\,dx),
  • uv é o produto das primitivas/derivadas conforme a fórmula,
  • E \int v\,du é a nova integral que aparece — costuma ser mais simples que a original.
Um truque prático para escolher u é a regra mnemônica LIATE (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Algébrica, Trigonométrica, Exponencial): escolher u pela ordem de prioridade (logaritmo fica antes de polinômio). Isso sugere escolher u=\ln(x) e dv=x^{3}dx.

Passo 3

Escolha das partes:
u = \ln(x),\qquad dv = x^{3}\,dx.
Agora calculamos du e v.
Derivando u:
du = \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)\,dx = \frac{1}{x}\,dx.
Integrando dv:
v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
\int x^{3}\ln(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x^{3}\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{4}}{4} \;-\; \int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplificar o integrando restante:
\frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x} = \frac{x^{3}}{4}.
Então
\int x^{3}\ln(x)\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) \;-\; \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx.

Passo 6

Calcular \int x^{3}\,dx:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Substituindo:
\int x^{3}\ln(x)\,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln(x) \;-\; \frac{1}{4}\cdot \frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 7

Simplificar o resultado final:
\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{16},
portanto a primitiva é
\frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16} + C.

Resposta

\frac{x^{4}}{4}\ln(x) - \frac{x^{4}}{16} + C

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