Seja
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede duas coisas:
- determinar o domínio de
; - calcular
.
As informações relevantes fornecidas são a fórmula de(numerador e denominador) e os pontos em que devemos avaliar a função.
Passo 2
O que é domínio aqui? Domínio é o conjunto de pares
para os quais a fórmula da função faz sentido e produz um número real. Para uma função dada por uma fração, a única condição problemática é o denominador: não podemos dividir por zero. Portanto, devemos exigir que o denominador seja diferente de zero.
Passo 3
No nosso caso o denominador é
. A condição que garante que
esteja bem definida é
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares
em que essa soma não vale zero. Em notação de conjuntos:
Geometricamente, é o plano
com a reta
removida.
Passo 4
Agora vamos calcular
por substituição direta na fórmula da função. Primeiro o numerador:
Vamos simplificar passo a passo: dentro do parêntese subtraímos
, então
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora o denominador após a substituição:
Distribuímos o
no segundo termo:
Agora somamos termo a termo:
Passo 6
Portanto, após a substituição obtemos
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
(como
):
Mas atenção à condição de existência: ao substituir, o denominador ficou
, então precisamos de
, ou seja
. Essa condição é consequência da condição geral do domínio
.
Passo 7
Resumo prático para a prova: lembre-se de sempre checar o denominador antes de simplificar; aqui a simplificação foi legítima porque resultou em cancelamento por
, que é não nulo, e sob a condição adicional
.