Seja f(x, y)=x-y
x+2 y \text {. Determine o domínio de } f \text { e calcule } f(2 u+v, v-u) \text {. }í

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+2y} e pede duas coisas:
  1. determinar o domínio de f;
  2. calcular f(2u+v,\;v-u).
    As informações relevantes fornecidas são a fórmula de f (numerador e denominador) e os pontos em que devemos avaliar a função.

Passo 2

O que é domínio aqui? Domínio é o conjunto de pares (x,y) para os quais a fórmula da função faz sentido e produz um número real. Para uma função dada por uma fração, a única condição problemática é o denominador: não podemos dividir por zero. Portanto, devemos exigir que o denominador seja diferente de zero.

Passo 3

No nosso caso o denominador é x+2y. A condição que garante que f esteja bem definida é
x+2y \neq 0.
Logo o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) em que essa soma não vale zero. Em notação de conjuntos:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y\neq 0\}.
Geometricamente, é o plano \mathbb{R}^2 com a reta x+2y=0 removida.

Passo 4

Agora vamos calcular f(2u+v,\;v-u) por substituição direta na fórmula da função. Primeiro o numerador:
(2u+v)-(v-u).
Vamos simplificar passo a passo: dentro do parêntese subtraímos v-u, então
(2u+v)-(v-u)=2u+v-v+u.
Agrupando termos semelhantes:
2u+v-v+u=(2u+u)+(v-v)=3u+0=3u.

Passo 5

Agora o denominador após a substituição:
(2u+v)+2(v-u).
Distribuímos o 2 no segundo termo:
(2u+v)+2v-2u.
Agora somamos termo a termo:
2u+v+2v-2u=(2u-2u)+(v+2v)=0+3v=3v.

Passo 6

Portanto, após a substituição obtemos
f(2u+v,\;v-u)=\frac{3u}{3v}.
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 3 (como 3\neq 0):
\frac{3u}{3v}=\frac{u}{v}.
Mas atenção à condição de existência: ao substituir, o denominador ficou 3v, então precisamos de 3v\neq 0, ou seja v\neq 0. Essa condição é consequência da condição geral do domínio x+2y\neq 0.

Passo 7

Resumo prático para a prova: lembre-se de sempre checar o denominador antes de simplificar; aqui a simplificação foi legítima porque resultou em cancelamento por 3, que é não nulo, e sob a condição adicional v\neq 0.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+2y\neq 0\}
\dfrac{u}{v},\; v\neq 0

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