Integre na ordem mais conveniente a integral dupla
, sendo
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde o domínio
é o quadrado fechado dado por
Informações úteis que o enunciado dá:
O que se pede: avaliar o valor numérico dessa integral dupla (integrar na ordem mais conveniente).
Passo 2
Observação sobre a integranda e a escolha da ordem: a função é um produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
:
Em um domínio retangular como
, isso facilita muito: podemos separar a integração ou escolher a ordem que torne o cálculo mais simples. Aqui é conveniente integrar primeiro em
, porque a primitiva de
é bem conhecida (
). Vou seguir essa ordem.
Passo 3
Escrevo a integral iterada com
primeiro:
Passo 4
Calculo a integral interna em
. Aqui
é tratado como constante em relação a
, então posso fatorar
para fora da integral em
:
Lembrete rápido (mini-aula): a primitiva de
é
, pois
. Portanto,
Como
e
, temos
Assim a integral interna vale
Passo 5
Agora integro em
a expressão obtida:
Outra mini-aula: a primitiva de
é
, logo
Multiplicando,
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para fixar): se eu tivesse integrado primeiro em
,
pois
é constante em
. Como já vimos
, isso dá
confirmando o resultado obtido. Isso ilustra que, em domínios retangulares com função contínua, trocar a ordem ou separar as variáveis dá o mesmo resultado.