Integre na ordem mais conveniente a integral dupla \iint_{D} \frac{y}{1+x^{2}} d x d y, sendo D=\left\{(x, y) \in R^{2} / 0 \leq x \leq 1\right. e \left.0 \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y}{1+x^{2}}\,dx\,dy
onde o domínio D é o quadrado fechado dado por
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\}.
Informações úteis que o enunciado dá:
\text{(i)}\;0\le x\le 1,\qquad \text{(ii)}\;0\le y\le 1,\qquad \text{(iii)}\;\text{integrando } \frac{y}{1+x^{2}}.
O que se pede: avaliar o valor numérico dessa integral dupla (integrar na ordem mais conveniente).

Passo 2

Observação sobre a integranda e a escolha da ordem: a função é um produto de uma função que depende só de y e outra que depende só de x:
\frac{y}{1+x^{2}} = \bigl(y\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{1}{1+x^{2}}\bigr).
Em um domínio retangular como D, isso facilita muito: podemos separar a integração ou escolher a ordem que torne o cálculo mais simples. Aqui é conveniente integrar primeiro em x, porque a primitiva de \tfrac{1}{1+x^{2}} é bem conhecida ( \arctan x). Vou seguir essa ordem.

Passo 3

Escrevo a integral iterada com x primeiro:
\iint_{D}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx\,dy=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx\right)dy.

Passo 4

Calculo a integral interna em x. Aqui y é tratado como constante em relação a x, então posso fatorar y para fora da integral em x:
\int_{x=0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx = y\int_{x=0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Lembrete rápido (mini-aula): a primitiva de \tfrac{1}{1+x^{2}} é \arctan x, pois \dfrac{d}{dx}(\arctan x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}. Portanto,
\int_{x=0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \bigl[\arctan x\bigr]_{0}^{1} = \arctan(1)-\arctan(0).
Como \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, temos
\int_{x=0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{4}.
Assim a integral interna vale
\int_{x=0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dx = y\cdot\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora integro em y a expressão obtida:
\int_{y=0}^{1} y\cdot\frac{\pi}{4}\,dy = \frac{\pi}{4}\int_{y=0}^{1} y\,dy.
Outra mini-aula: a primitiva de y é \tfrac{y^{2}}{2}, logo
\int_{y=0}^{1} y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-0 = \frac{1}{2}.
Multiplicando,
\frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para fixar): se eu tivesse integrado primeiro em y,
\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1}\frac{y}{1+x^{2}}\,dy\right)dx = \int_{x=0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\left(\int_{y=0}^{1} y\,dy\right)dx
pois \tfrac{1}{1+x^{2}} é constante em y. Como já vimos \int_{0}^{1} y\,dy=\tfrac{1}{2}, isso dá
\int_{x=0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8},
confirmando o resultado obtido. Isso ilustra que, em domínios retangulares com função contínua, trocar a ordem ou separar as variáveis dá o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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