1 ( 2,0 pts). Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto em que
. Use a equação desta reta para obter um valor aproximado de
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (i) calcular a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
; (ii) usar essa reta para obter um valor aproximado de
(a notação
aqui é decimal, ou seja
).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Entendendo o que é preciso fazer (aulas rápidas e práticas):
- A reta tangente a
em tem equação dada pela forma ponto-inclinação (também chamada de linearização):
Aqui
é o valor da função no ponto e
é a derivada de
em
, que representa a inclinação (o “declive”) da reta tangente.
- Para calcular
precisamos derivar . Regras que usamos: - A derivada de
é . - A derivada de
é (para ). - Constante multiplicativa: a derivada de
é .
- A derivada de
Passo 3
Derivando
passo a passo:
Aplicando as regras:
logo
Passo 4
Calculemos
(valor da função no ponto) e
(inclinação da tangente no ponto). Primeiro
:
Como
, segue
Agora
:
Passo 5
Montando a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos simplificar:
Portanto a reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Usando a reta tangente para aproximar
(ou seja
) — esse é o método da linearização: aproximamos
por
Tomando
:
Calcule a diferença:
então
e
Logo a aproximação é
.
Passo 7
Comentário final rápido (pra te animar): essa aproximação costuma ser boa quando
está próximo de
— quanto menor a distância de
a
, menor o erro. Se quiser, depois a gente pode estimar o erro usando a segunda derivada, mas para prova normalmente pedir a aproximação pela reta tangente é isso mesmo.
Resposta
Equação da reta tangente:
\n
Aproximação de :
Aproximação de