1 ( 2,0 pts). Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x+4 \cdot \ln (x) no ponto em que x=1. Use a equação desta reta para obter um valor aproximado de f(1,1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x+4\cdot\ln(x) e pede duas coisas: (i) calcular a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto em que x=1; (ii) usar essa reta para obter um valor aproximado de f(1,1) (a notação 1,1 aqui é decimal, ou seja 1,1=1{,}1).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{função: } f(x)=x+4\cdot\ln(x),\qquad \text{ponto: } x_0=1.çã

Passo 2

Entendendo o que é preciso fazer (aulas rápidas e práticas):
  • A reta tangente a f em x=a tem equação dada pela forma ponto-inclinação (também chamada de linearização):
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui f(a) é o valor da função no ponto e f'(a) é a derivada de f em a, que representa a inclinação (o “declive”) da reta tangente.
  • Para calcular f'(x) precisamos derivar f(x). Regras que usamos:
    • A derivada de x é 1.
    • A derivada de \ln(x) é \dfrac{1}{x} (para x>0).
    • Constante multiplicativa: a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x).

Passo 3

Derivando f(x) passo a passo:
f(x)=x+4\cdot\ln(x).
Aplicando as regras:
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1,\qquad \frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr)=\frac{1}{x},
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f'(x)=1+4\cdot\frac{1}{x}=1+\frac{4}{x}.

Passo 4

Calculemos f(1) (valor da função no ponto) e f'(1) (inclinação da tangente no ponto). Primeiro f(1):
f(1)=1+4\cdot\ln(1).
Como \ln(1)=0, segue
f(1)=1+4\cdot 0=1.
Agora f'(1):
f'(1)=1+\frac{4}{1}=1+4=5.

Passo 5

Montando a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação:
y = f(1) + f'(1)\,(x-1).
Substituindo os valores que encontramos:
y = 1 + 5\,(x-1).
Podemos simplificar:
y = 1 + 5x -5 = 5x -4.
Portanto a reta tangente no ponto x=1 é y=5x-4.

Passo 6

Usando a reta tangente para aproximar f(1,1) (ou seja f(1{,}1)) — esse é o método da linearização: aproximamos f(x) por
L(x)=f(1)+f'(1)\,(x-1).
Tomando x=1{,}1:
L(1,1)=1+5\,(1,1-1).
Calcule a diferença:
1,1-1=0,1,
então
5\cdot 0,1=0,5,
e
L(1,1)=1+0,5=1,5.
Logo a aproximação é f(1,1)\approx 1,5.

Passo 7

Comentário final rápido (pra te animar): essa aproximação costuma ser boa quando x está próximo de 1 — quanto menor a distância de x a 1, menor o erro. Se quiser, depois a gente pode estimar o erro usando a segunda derivada, mas para prova normalmente pedir a aproximação pela reta tangente é isso mesmo.

Resposta

Equação da reta tangente: y=5x-4\n
Aproximação de f(1,1): f(1,1)\approx 1,5

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