Questão 2 (3 pontos). Calcule as integrais indefinidas
\int \operatorname{sec} ^{2}(3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx.
Isso envolve o conteúdo de integrais imediatas e uso de substituição para lidar com o argumento 3x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Assim,
\int \operatorname{sec}^{2}(3x)\,dx = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du.

Passo 3

Sabemos que
\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \tan(u) + C.
Logo,
\frac{1}{3}\int \operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \frac{1}{3}\,\tan(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável original x (isto é, u=3x), obtemos
\frac{1}{3}\,\tan(u) + C = \frac{1}{3}\,\tan(3x) + C.

Resposta

\frac{1}{3}\,\tan(3x) + C

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