\int 2 x\left(1-x^{-3}\right) dx

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int 2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de potências de x usando a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad(n\neq -1),
além da propriedade distributiva.

Passo 2

Aplicamos a distributiva em
2x\bigl(1 - x^{-3}\bigr) = 2x - 2x^{-2}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
Para \displaystyle \int 2x\,dx,
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2}.
Para \displaystyle \int -2x^{-2}\,dx,
\int -2x^{-2}\,dx = -2\cdot\frac{x^{-1}}{-1} = 2x^{-1}.

Passo 4

Somando as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos
x^{2} + 2x^{-1} + C.

Resposta

\displaystyle x^{2} + \frac{2}{x} + C

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