\int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}\right) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \tfrac{1}{3}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é aplicação da regra de potência para integrais, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1).
Também vamos usar que \frac{1}{x^{2}} = x^{-2} e que constantes saem da integral.

Passo 2

Separamos a integral em três partes lineares:
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \tfrac{1}{3}\Bigr)\,dx = \int x^{-2}\,dx \;-\;\int x^{2}\,dx \;-\;\int \tfrac{1}{3}\,dx.

Passo 3

Calculamos \displaystyle \int x^{-2}\,dx. Usando a regra de potência com n=-2, temos
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.

Passo 4

Calculamos \displaystyle \int x^{2}\,dx. Aqui n=2, logo
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
Como veio com sinal negativo na soma, fica -\frac{x^{3}}{3}.

Passo 5

Calculamos \displaystyle \int \tfrac{1}{3}\,dx. A constante \tfrac{1}{3} sai da integral:
\int \tfrac{1}{3}\,dx = \tfrac{1}{3}\int 1\,dx = \tfrac{1}{3}\,x = \frac{x}{3}.
E como também tem sinal menos, dá -\frac{x}{3}.

Passo 6

Agora somamos tudo e adicionamos a constante de integração C:
\int\Bigl(\frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \tfrac{1}{3}\Bigr)\,dx = \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr) \;-\;\frac{x^{3}}{3}\;-\;\frac{x}{3} + C.

Resposta

-\frac{1}{x} \;-\;\frac{x^{3}}{3}\;-\;\frac{x}{3} + C.

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