\int\left(e^{3 x}+5 e^{-x}\right) dx

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(e^{3x}+5e^{-x}\bigr)\,dx,
que envolve soma de exponenciais. Vamos usar a regra de antiderivação \displaystyle \int e^{ax}\,dx = \tfrac{1}{a}e^{ax}.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral e separamos em duas partes:
\int\bigl(e^{3x}+5e^{-x}\bigr)\,dx =\int e^{3x}\,dx \;+\;5\int e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, com a=3:
\int e^{3x}\,dx =\frac{1}{3}e^{3x}.

Passo 4

Para a segunda parte, o fator 5 sai da integral e, com a=-1:
5\int e^{-x}\,dx =5\cdot\frac{1}{-1}e^{-x} =-5e^{-x}.

Resposta

\int\bigl(e^{3x}+5e^{-x}\bigr)\,dx =\frac{1}{3}e^{3x}-5e^{-x}+C.

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