Questão 6. Determine para quais p a igualdade \binom{11}{p+2}=\binom{11}{2 p} é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os inteiros p tais que
\binom{11}{p+2} \;=\;\binom{11}{2p}.
O conteúdo é combinação e vamos usar a propriedade de simetria
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
e a definição de binomial para determinar o domínio de p.

Passo 2

Primeiro, p deve ser inteiro e satisfazer as condições de existência das combinações:
0 \le p+2 \le 11 \quad\text{e}\quad 0 \le 2p \le 11.
Da primeira vem -2 \le p \le 9, mas como p inteiro não-negativo, fica 0 \le p \le 9.
Da segunda vem 0 \le p \le 5{,}5, ou seja 0 \le p \le 5.
Portanto o domínio efetivo é
p\in\{0,1,2,3,4,5\}.

Passo 3

Usamos agora a propriedade de simetria:
\binom{11}{p+2} = \binom{11}{2p} \;\Longrightarrow\; \text{ou }p+2=2p \quad\text{ou }p+2 = 11-2p.

Passo 4

Caso p+2=2p.
Resolvendo,
p+2=2p \;\Longrightarrow\; 2=p \;\Longrightarrow\; p=2.
Verificamos p=2 está no domínio \{0,\dots,5\}.

Passo 5

Caso p+2=11-2p.
Resolvendo,
p+2=11-2p \;\Longrightarrow\; 3p=9 \;\Longrightarrow\; p=3.
Verificamos p=3 também está em \{0,\dots,5\}.

Passo 6

Não há outras soluções nesse domínio, pois só esses dois casos cobrem todas as possibilidades de igualdade de binomiais.

Resposta

p=2 ou p=3.

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