Obtenha f circ g, g circ f, f circ f e g circ g e seus domínios.
f(x)=2x, g(x)=xx+2

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=2x, g(x)=xx+2
e pede as composições fcirc g, gcirc f, fcirc f e gcirc g com seus domínios. Vamos usar definição de composição e analisar em cada caso as restrições de domínio (denominadores não nulos e argumentos na região de definição).

Passo 2

Para fcirc g calculamos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=2xx+2 =2(x+2)x=2x+4x
Domínio: g(x) exige x+2neq0 e f(g(x)) exige g(x)neq0, isto é xneq-2 e xneq0.

Passo 3

Para gcirc f calculamos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =2x2x+2 =tfrac2xtfrac2+2xx =22+2x =11+x
Domínio: f(x) exige xneq0 e g(f(x)) exige tfrac2x+2neq0, ou seja xneq0 e xneq-1.

Passo 4

Para fcirc f calculamos
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r) =22x =2x2=x
Domínio: em ambas as aplicações de f exige-se xneq0.

Passo 5

Para gcirc g calculamos
(gcirc g)(x)=gl(g(x)r) =xx+2 xx+2+2 =tfracxx+2tfracx+2(x+2)x+2 =x3x+4
Domínio: g(x) exige x+2neq0 e g(g(x)) exige tfracxx+2neq-2 e 3x+4neq0, ou seja xneq-2 e xneq-tfrac43.

Resposta

fcirc gcolon (fcirc g)(x)=dfrac2x+4x,dom=Rsetminus0,-2
gcirc fcolon (gcirc f)(x)=dfrac11+x,dom=Rsetminus0,-1
fcirc fcolon (fcirc f)(x)=x,dom=Rsetminus0
gcirc gcolon (gcirc g)(x)=dfracx3x+4,dom=Rsetminusl-2,-tfrac43r

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