Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, de Poisson de parâmetro lambda Calcule a distribuição de X1+X2+cdots+Xn

Passo 1

O enunciado diz que temos variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição de Poisson de parâmetro lambda. A nossa missão é achar a distribuição da soma Sn = X1 + X2 + cdots + Xn. Vamos usar propriedades de convolução e indução.

Passo 2

Antes de partir para o caso geral, vale lembrar a definição de Poisson: para cada Xi,
P(Xi = k) = e^-lambdalambda^kk!, k = 0,1,2,dots
e elas são independentes. Para ver a ideia, primeiro vamos somar duas delas: defina Y = X1 + X2.

Passo 3

Como X1 e X2 são independentes, a probabilidade P(Y = k) é dada pela convolução:
P(Y = k) = sumi=0^k P(X1 = i), P(X2 = k - i)
Substituindo a fórmula de Poisson em cada termo,
P(Y = k) = sumi=0^k e^-lambdalambda^ii!;e^-lambdalambda^k-i(k-i)! = e^-2lambdasumi=0^k lambda^ki!(k-i)!
Repare que 1i!(k-i)! = 1k!binomki. Assim
P(Y = k) = e^-2lambdalambda^kk!sumi=0^k binomki = e^-2lambdalambda^kk!,2^k = e^-2lambda(2lambda)^kk!
Isso mostra que a soma de duas Poisson( lambda) é Poisson( 2lambda).

Passo 4

Agora, para passar de n variáveis, usamos indução: se Sm = X1 + cdots + Xm tem distribuição Poisson( mlambda) e Xm+1 é Poisson( lambda) independente, então
Sm+1 = Sm + Xm+1
é a soma de duas Poisson com parâmetros mlambda e lambda, logo é Poisson com parâmetro mlambda + lambda = (m+1)lambda.
Pela base ( m=1) e pelo passo de indução, concluímos que
Sn sim Poisson(nlambda)

Resposta

A soma X1 + X2 + cdots + Xn tem distribuição Poisson de parâmetro nlambda.

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