Sejam
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, de Poisson de parâmetro
Calcule a distribuição de
Passo 1
O enunciado diz que temos variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com distribuição de Poisson de parâmetro
. A nossa missão é achar a distribuição da soma
. Vamos usar propriedades de convolução e indução.
Passo 2
Antes de partir para o caso geral, vale lembrar a definição de Poisson: para cada
,
e elas são independentes. Para ver a ideia, primeiro vamos somar duas delas: defina
.
Passo 3
Como
e
são independentes, a probabilidade
é dada pela convolução:
Substituindo a fórmula de Poisson em cada termo,
Repare que
. Assim
Isso mostra que a soma de duas Poisson(
) é Poisson(
).
Passo 4
Agora, para passar de
variáveis, usamos indução: se
tem distribuição Poisson(
) e
é Poisson(
) independente, então
é a soma de duas Poisson com parâmetros
e
, logo é Poisson com parâmetro
.
Pela base ( ) e pelo passo de indução, concluímos que
Pela base (
Resposta
A soma
tem distribuição Poisson de parâmetro
.