1.5 Integração Numérica: Quadratura Gaussiana (2 pontos)

Cenário: A energia potencial E de um sistema físico é dada pela integral \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}} d x.
Questão: Estime o valor da integral \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}} d x utilizando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos.

Passo 1

O enunciado pede: estime o valor da integral
\int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx
utilizando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Informações dadas: intervalo de integração [0,2] e integrando x\mapsto\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}. A tarefa é aplicar a fórmula da quadratura de 2 pontos e retornar um valor numérico aproximado.

Passo 2

Vamos apresentar a ideia necessária (passo-a-passo tipo “receita”) para aplicar a quadratura de 2 pontos:
  1. A regra padrão da quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos é definida no intervalo [-1,1]. Nela os pontos (nós) e pesos são:
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad t_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad w_{1}=w_{2}=1.
Isto significa que, para uma função \varphi,
\int_{-1}^{1}\varphi(t)\,dt \approx \varphi(t_{1})+\varphi(t_{2}).
  1. Como nossa integral está em [0,2] precisamos transformar (mapear) o intervalo [0,2] para [-1,1]. O mapeamento linear padrão é
x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,t,
onde aqui a=0 e b=2. Ao fazer essa mudança de variável, temos
dx = \frac{b-a}{2}\,dt.
Portanto, para g(x) qualquer,
\int_{a}^{b} g(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} g\!\Big(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\Big)\,dt.
  1. Aplicando a quadratura de 2 pontos ao integral mapeado, obtemos a fórmula prática
\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{2} w_{i}\,g(x_{i}),
onde
x_{i}=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t_{i}.
No nosso caso w_{1}=w_{2}=1 e \frac{b-a}{2}=1, portanto a aproximação fica simplesmente
\int_{0}^{2} g(x)\,dx \approx g(x_{1})+g(x_{2}).

Passo 3

Calculemos os pontos mapeados x_{1},x_{2}. Com a=0, b=2 e t_{i}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}:
x_{i} = 1 + t_{i}.
Definindo s=\frac{1}{\sqrt{3}} (mais prático para as contas), obtemos
x_{1} = 1 - s,\qquad x_{2} = 1 + s.
Numericamente,
s=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5773502692,
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x_{1}\approx 1-0,5773502692=0,4226497308,
x_{2}\approx 1+0,5773502692=1,5773502692.

Passo 4

Agora precisamos avaliar a função g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^{3}+1}} em x_{1} e x_{2}.
Para evitar multiplicações decimais longas, usei a expansão cúbica em termos de s. Como x_{1}=1-s e x_{2}=1+s, temos
x_{1}^{3}=(1-s)^{3}=1-3s+3s^{2}-s^{3},
x_{2}^{3}=(1+s)^{3}=1+3s+3s^{2}+s^{3}.
Portanto
x_{1}^{3}+1 = 2 - 3s + 3s^{2} - s^{3},
x_{2}^{3}+1 = 2 + 3s + 3s^{2} + s^{3}.
Calculamos s, s^{2} e s^{3}:
s=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,5773502691896257,
s^{2}=\frac{1}{3}\approx 0,3333333333333333,
s^{3}=\frac{1}{3\sqrt{3}}\approx 0,19245008972987526.
Substituindo:
x_{1}^{3}+1 \approx 2 - 3(0,57735026919) + 3(0,33333333333) - 0,19245008973
\phantom{x_{1}^{3}+1} \approx 2 - 1,73205080757 + 1 - 0,19245008973
\phantom{x_{1}^{3}+1} \approx 1,0754991027012475.
x_{2}^{3}+1 \approx 2 + 1,73205080757 + 1 + 0,19245008973
\phantom{x_{2}^{3}+1} \approx 4,9245008972987525.

Passo 5

Agora calculamos as raízes quadradas e as inversas para obter g(x_{i})=\dfrac{1}{\sqrt{x_{i}^{3}+1}}.
Para x_{1}:
\sqrt{x_{1}^{3}+1}\approx\sqrt{1,0754991027012475}\approx 1,03706273,
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g(x_{1})=\frac{1}{\sqrt{x_{1}^{3}+1}}\approx \frac{1}{1,03706273}\approx 0,963271.
Para x_{2}:
\sqrt{x_{2}^{3}+1}\approx\sqrt{4,9245008972987525}\approx 2,2191209,
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g(x_{2})=\frac{1}{\sqrt{x_{2}^{3}+1}}\approx \frac{1}{2,2191209}\approx 0,450463.
(Se quiser: usei um passo de refinamento tipo método de Newton para as raízes quadradas e depois calculei os recíprocos; os números acima estão arredondados com precisão suficiente para a estimativa.)

Passo 6

Aplicando a fórmula da quadratura (lembrando que (b-a)/2=1 aqui), a aproximação fica
\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{3}+1}}\,dx \approx g(x_{1})+g(x_{2})\approx 0,963271+0,450463.
Somando:
0,963271+0,450463=1,413734.

Resposta

\;1,413734

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