1.3 Integração Numérica: Regra do Trapézio
Cenário: O fluxo de água
em um reservatório é modelado pela função
.
Questão: Calcule o volume total acumulado (
), dado pela integral
, utilizando a Regra do Trapézio com
subintervalos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume total acumulado dado pela integral
usando a Regra do Trapézio com
subintervalos. Informações dadas e perguntas explicitas:
- Função:
. - Intervalo de integração:
. - Número de subintervalos:
. - O objetivo: aproximar a integral acima usando a Regra do Trapézio com
.
Passo 2
Apresentação e explicação da Regra do Trapézio (fórmula e significado das grandezas).
- Dividimos o intervalo
em subintervalos iguais de largura , onde
Aqui
e
são os extremos do intervalo e
é o número de subintervalos.
- Denotamos os pontos da malha por
. - Se
é a função a integrar, a Regra do Trapézio composta dá a aproximação
Explicação didática: a ideia é aproximar a área sob
em cada subintervalo por um trapézio cuja bases são os valores de
nas extremidades do subintervalo. Somando todos os trapézios obtemos
. Na fórmula,
corrige o fato de que os extremos aparecem somente uma vez enquanto os pontos interiores aparecem duas vezes se somássemos trapézios individualmente.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso.
- Aqui
, e , então
- Os pontos da malha são
- Os valores da função nos nós são
Substituindo na fórmula do trapézio com
obtemos a expressão exata da aproximação:
Substituindo
explicitamente:
Simplificando
e agrupando o fator
:
Esta é uma forma exata (em termos de logaritmos naturais) da aproximação pelo trapézio.
Passo 4
Agora vamos calcular numericamente cada valor
. Observação prática: os logaritmos naturais precisam de calculadora para boa precisão; aqui vou usar aproximações decimais razoáveis e mostrar cada passo.
- Calculemos os
e depois multipliquemos por :
Passo 5
Somando conforme a fórmula do trapézio (com
).
- Soma dos valores interiores
:
- Termo dos extremos dividido por
:
- Soma total dentro dos parênteses:
- Como
, não há multiplicação adicional. Portanto a aproximação final pelo Trapézio com é
Passo 6
Interpretação e dica prática: a expressão exata em termos de logaritmos é
e a aproximação numérica com calculadora é
(arredondando a 4 casas decimais). Se precisar de maior precisão, basta usar mais casas nas aproximações dos logaritmos.