1.3 Integração Numérica: Regra do Trapézio

Cenário: O fluxo de água F(t)\left(\mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}\right) em um reservatório é modelado pela função F(t)= 10 \ln \left(t^{2}+1\right).
Questão: Calcule o volume total acumulado ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ), dado pela integral \int_{0}^{5} 10 \ln \left(t^{2}+1\right) d t, utilizando a Regra do Trapézio com n=5 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume total acumulado dado pela integral
\int_{0}^{5} 10\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)\,dt
usando a Regra do Trapézio com n=5 subintervalos. Informações dadas e perguntas explicitas:
  • Função: F(t)=10\ln\bigl(t^{2}+1\bigr).
  • Intervalo de integração: [0,5].
  • Número de subintervalos: n=5.
  • O objetivo: aproximar a integral acima usando a Regra do Trapézio com n=5.

Passo 2

Apresentação e explicação da Regra do Trapézio (fórmula e significado das grandezas).
  • Dividimos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de largura h, onde
h=\frac{b-a}{n}.
Aqui a e b são os extremos do intervalo e n é o número de subintervalos.
  • Denotamos os pontos da malha por t_{0}=a, t_{1}=a+h, t_{2}=a+2h,\dots,t_{n}=b.
  • Se f é a função a integrar, a Regra do Trapézio composta dá a aproximação
T_{n}=h\left(\frac{f(t_{0})+f(t_{n})}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(t_{i})\right).
Explicação didática: a ideia é aproximar a área sob f em cada subintervalo por um trapézio cuja bases são os valores de f nas extremidades do subintervalo. Somando todos os trapézios obtemos T_{n}. Na fórmula, \frac{f(t_{0})+f(t_{n})}{2} corrige o fato de que os extremos aparecem somente uma vez enquanto os pontos interiores aparecem duas vezes se somássemos trapézios individualmente.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso.
  • Aqui a=0, b=5 e n=5, então
h=\frac{5-0}{5}=1.
  • Os pontos da malha são \;t_{0}=0,\;t_{1}=1,\;t_{2}=2,\;t_{3}=3,\;t_{4}=4,\;t_{5}=5.
  • Os valores da função nos nós são
f(t_{i})=10\ln\bigl(t_{i}^{2}+1\bigr),\quad i=0,\dots,5.
Substituindo na fórmula do trapézio com h=1 obtemos a expressão exata da aproximação:
T_{5}=\left(\frac{f(t_{0})+f(t_{5})}{2}+\sum_{i=1}^{4}f(t_{i})\right).
Substituindo f explicitamente:
T_{5}=\frac{10\ln(0^{2}+1)+10\ln(5^{2}+1)}{2}+10\bigl(\ln(1^{2}+1)+\ln(2^{2}+1)+\ln(3^{2}+1)+\ln(4^{2}+1)\bigr).
Simplificando \ln(0^{2}+1)=\ln(1)=0 e agrupando o fator 10:
T_{5}=5\ln(26)+10\bigl(\ln 2+\ln 5+\ln 10+\ln 17\bigr).
Esta é uma forma exata (em termos de logaritmos naturais) da aproximação pelo trapézio.

Passo 4

Agora vamos calcular numericamente cada valor f(t_{i}). Observação prática: os logaritmos naturais precisam de calculadora para boa precisão; aqui vou usar aproximações decimais razoáveis e mostrar cada passo.
  • Calculemos os \ln e depois multipliquemos por 10:
\begin{aligned} \ln 1 &= 0 &\Rightarrow&\quad f(t_{0})=10\cdot 0=0,\\[4pt] \ln 2 &\approx 0{,}6931471806 &\Rightarrow&\quad f(t_{1})=10\ln 2\approx 6{,}931471806,\\[4pt] \ln 5 &\approx 1{,}6094379124 &\Rightarrow&\quad f(t_{2})=10\ln 5\approx 16{,}094379124,\\[4pt] \ln 10 &\approx 2{,}3025850930 &\Rightarrow&\quad f(t_{3})=10\ln 10\approx 23{,}025850930,\\[4pt] \ln 17 &\approx 2{,}8332133441 &\Rightarrow&\quad f(t_{4})=10\ln 17\approx 28{,}332133441,\\[4pt] \ln 26 &\approx 3{,}2580965380 &\Rightarrow&\quad f(t_{5})=10\ln 26\approx 32{,}580965380. \end{aligned}]

Passo 5

Somando conforme a fórmula do trapézio (com h=1).
  • Soma dos valores interiores f(t_{1})+\cdots+f(t_{4}):
6{,}931471806+16{,}094379124+23{,}025850930+28{,}332133441\approx 74{,}383835301.
  • Termo dos extremos dividido por 2:
\frac{f(t_{0})+f(t_{5})}{2}=\frac{0+32{,}580965380}{2}=16{,}290482690.
  • Soma total dentro dos parênteses:
16{,}290482690+74{,}383835301\approx 90{,}674317991.
  • Como h=1, não há multiplicação adicional. Portanto a aproximação final pelo Trapézio com n=5 é
T_{5}\approx 90{,}674317991\\ \text{m}^{3}.

Passo 6

Interpretação e dica prática: a expressão exata em termos de logaritmos é
T_{5}=5\ln(26)+10\bigl(\ln 2+\ln 5+\ln 10+\ln 17\bigr),
e a aproximação numérica com calculadora é T_{5}\approx 90{,}6743\\ \text{m}^{3} (arredondando a 4 casas decimais). Se precisar de maior precisão, basta usar mais casas nas aproximações dos logaritmos.

Resposta

90{,}674317991\\ \text{m}^{3} (aproximadamente 90{,}6743\\ \text{m}^{3}).

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