Cenário: A deformação \epsilon (em milímetros) de uma viga foi medida em função da carga aplicada P (em quilonewtons, kN ).
Table 1: Tabela 2: Dados de Carga e Deformação
\captionsetup{labelformat=empty}
i
Carga P_{i}(\mathrm{kN})
Deformação \epsilon_{i}(\mathrm{~mm})
1
1
0.5
2
2
1.8
3
3
4.2
4
4
7.1
5
5
11.5
Questão: Encontre o polinômio de segundo grau P_{2}(P)=a_{0}+a_{1} P+a_{2} P^{2} que melhor se ajusta a esses dados usando o método dos Mínimos Quadrados.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre o polinômio de segundo grau
P_{2}(P)=a_{0}+a_{1}P+a_{2}P^{2}
que melhor ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, os pares de dados (carga P_{i}, deformação \epsilon_{i}) dados na tabela. Os dados fornecidos (peguei-os diretamente da tabela do enunciado) são:
Portanto a pergunta é: determinar os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} que minimizam o erro quadrático total entre \epsilon_{i} e P_{2}(P_{i}).
Passo 2
Vou explicar a ideia dos mínimos quadrados de forma prática e simples. Seja o polinômio \;P_{2}(P)=a_{0}+a_{1}P+a_{2}P^{2}\;\). Para cada ponto \((P_{i},\epsilon_{i})\) definimos o resíduo (erro) como
\[r_{i}=\epsilon_{i}-\bigl(a_{0}+a_{1}P_{i}+a_{2}P_{i}^{2}\bigr).
O método dos mínimos quadrados escolhe a_{0},a_{1},a_{2} que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
Construo o polinômio de ajuste com esses coeficientes. Portanto o polinômio de segundo grau que melhor ajusta, em mínimos quadrados, os dados da tabela é