1.2 Mínimos Quadrados (Polinômio de Grau 2)

Cenário: A deformação \epsilon (em milímetros) de uma viga foi medida em função da carga aplicada P (em quilonewtons, kN ).
Table 1: Tabela 2: Dados de Carga e Deformação
\captionsetup{labelformat=empty}
i Carga P_{i}(\mathrm{kN}) Deformação \epsilon_{i}(\mathrm{~mm})
1 1 0.5
2 2 1.8
3 3 4.2
4 4 7.1
5 5 11.5
Questão: Encontre o polinômio de segundo grau P_{2}(P)=a_{0}+a_{1} P+a_{2} P^{2} que melhor se ajusta a esses dados usando o método dos Mínimos Quadrados.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o polinômio de segundo grau
P_{2}(P)=a_{0}+a_{1}P+a_{2}P^{2}
que melhor ajusta, pelo método dos mínimos quadrados, os pares de dados (carga P_{i}, deformação \epsilon_{i}) dados na tabela. Os dados fornecidos (peguei-os diretamente da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|cc} i & P_{i}\;(\mathrm{kN}) & \epsilon_{i}\;(\mathrm{mm})\\hline 1 & 1 & 0{,}5\\\\ 2 & 2 & 1{,}8\\\\ 3 & 3 & 4{,}2\\\\ 4 & 4 & 7{,}1\\\\ 5 & 5 & 11{,}5 \end{array}
Portanto a pergunta é: determinar os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} que minimizam o erro quadrático total entre \epsilon_{i} e P_{2}(P_{i}).

Passo 2

Vou explicar a ideia dos mínimos quadrados de forma prática e simples. Seja o polinômio \;P_{2}(P)=a_{0}+a_{1}P+a_{2}P^{2}\;\). Para cada ponto \((P_{i},\epsilon_{i})\) definimos o resíduo (erro) como \[r_{i}=\epsilon_{i}-\bigl(a_{0}+a_{1}P_{i}+a_{2}P_{i}^{2}\bigr).
O método dos mínimos quadrados escolhe a_{0},a_{1},a_{2} que minimizam a soma dos quadrados desses resíduos:
S(a_{0},a_{1},a_{2})=\sum_{i=1}^{n} r_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(\epsilon_{i}-a_{0}-a_{1}P_{i}-a_{2}P_{i}^{2}\bigr)^{2}.
Para encontrar o mínimo calculamos as derivadas parciais de S em relação a a_{0},a_{1},a_{2} e igualamos a zero. Isso gera as equações normais:
\begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^{n}1\cdot a_{0}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}\,a_{1}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\,a_{2}=\sum_{i=1}^{n}\epsilon_{i},\\[6pt] \displaystyle \sum_{i=1}^{n}P_{i}\,a_{0}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\,a_{1}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{3}\,a_{2}=\sum_{i=1}^{n}P_{i}\epsilon_{i},\\[6pt] \displaystyle \sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\,a_{0}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{3}\,a_{1}+\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{4}\,a_{2}=\sum_{i=1}^{n}P_{i}^{2}\epsilon_{i}. \end{cases}
Aqui cada somatório é sobre os n\] pontos; para nosso caso \(n=5. Vou calcular esses somatórios usando os valores da tabela.]

Passo 3

Calculo dos somatórios necessários (usei os P_{i} e \epsilon_{i} da tabela):
  • n=\;5.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}=1+2+3+4+5=15. Então \; \sum P_{i}=15.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=1+4+9+16+25=55. Então \; \sum P_{i}^{2}=55.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=1+8+27+64+125=225. Então \; \sum P_{i}^{3}=225.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}^{4}=1^{4}+2^{4}+3^{4}+4^{4}+5^{4}=1+16+81+256+625=979. Então \; \sum P_{i}^{4}=979.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}\epsilon_{i}=0{,}5+1{,}8+4{,}2+7{,}1+11{,}5. Faço a soma passo a passo: 0{,}5+1{,}8=2{,}3; 2{,}3+4{,}2=6{,}5; 6{,}5+7{,}1=13{,}6; 13{,}6+11{,}5=25{,}1. Então \; \sum \epsilon_{i}=25{,}1.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}\epsilon_{i}=1\cdot0{,}5+2\cdot1{,}8+3\cdot4{,}2+4\cdot7{,}1+5\cdot11{,}5.
    Calculo passo a passo: 1\cdot0{,}5=0{,}5; 2\cdot1{,}8=3{,}6; 3\cdot4{,}2=12{,}6; 4\cdot7{,}1=28{,}4; 5\cdot11{,}5=57{,}5.
    Somando: 0{,}5+3{,}6=4{,}1; 4{,}1+12{,}6=16{,}7; 16{,}7+28{,}4=45{,}1; 45{,}1+57{,}5=102{,}6.
    Então \; \sum P_{i}\epsilon_{i}=102{,}6.
  • \displaystyle \sum_{i=1}^{5}P_{i}^{2}\epsilon_{i}=1^{2}\cdot0{,}5+2^{2}\cdot1{,}8+3^{2}\cdot4{,}2+4^{2}\cdot7{,}1+5^{2}\cdot11{,}5.
    Calculo termo a termo: 1\cdot0{,}5=0{,}5; 4\cdot1{,}8=7{,}2; 9\cdot4{,}2=37{,}8; 16\cdot7{,}1=113{,}6; 25\cdot11{,}5=287{,}5.
    Somando: 0{,}5+7{,}2=7{,}7; 7{,}7+37{,}8=45{,}5; 45{,}5+113{,}6=159{,}1; 159{,}1+287{,}5=446{,}6.
    Então \; \sum P_{i}^{2}\epsilon_{i}=446{,}6.
Resumo dos somatórios (todos obtidos a partir da tabela):
\begin{aligned} n&=5,& \sum P_{i}&=15,& \sum P_{i}^{2}&=55,\\\ \sum P_{i}^{3}&=225,& \sum P_{i}^{4}&=979,& \sum \epsilon_{i}&=25{,}1,\\\ \sum P_{i}\epsilon_{i}&=102{,}6,& \sum P_{i}^{2}\epsilon_{i}&=446{,}6. \end{aligned}

Passo 4

Agora escrevo as equações normais substituindo os somatórios:
\begin{cases} 5a_{0}+15a_{1}+55a_{2}=25{,}1,\\[4pt] 15a_{0}+55a_{1}+225a_{2}=102{,}6,\\[4pt] 55a_{0}+225a_{1}+979a_{2}=446{,}6. \end{cases}
Estas são três equações lineares em a_{0},a_{1},a_{2}. Vou resolver por eliminação (processo que dá para fazer à mão passo a passo).]

Passo 5

Resolução do sistema por eliminação:
Da primeira equação isolo a_{0}\): \[a_{0}=\frac{25{,}1-15a_{1}-55a_{2}}{5}=5{,}02-3a_{1}-11a_{2}.
Substituo esse a_{0} na segunda e na terceira equações.
Substituindo na segunda:
15(5{,}02-3a_{1}-11a_{2})+55a_{1}+225a_{2}=102{,}6.
Calculo: 15\cdot5{,}02=75{,}3; 15\cdot(-3a_{1})=-45a_{1}; 15\cdot(-11a_{2})=-165a_{2}.
Então
75{,}3-45a_{1}-165a_{2}+55a_{1}+225a_{2}=102{,}6.
Agrupando termos:
75{,}3+10a_{1}+60a_{2}=102{,}6.
Isolando os coeficientes:
10a_{1}+60a_{2}=102{,}6-75{,}3=27{,}3.
Dividindo por 10:
a_{1}+6a_{2}=2{,}73. \quad\text{(Equação A)}çã
Substituindo a_{0} na terceira equação:
55(5{,}02-3a_{1}-11a_{2})+225a_{1}+979a_{2}=446{,}6.
Calculo: 55\cdot5{,}02=276{,}1; 55\cdot(-3a_{1})=-165a_{1}; 55\cdot(-11a_{2})=-605a_{2}.
Então
276{,}1-165a_{1}-605a_{2}+225a_{1}+979a_{2}=446{,}6.
Agrupando:
276{,}1+60a_{1}+374a_{2}=446{,}6.
Isolando:
60a_{1}+374a_{2}=446{,}6-276{,}1=170{,}5. \quad\text{(Equação B)}çã
Agora resolvo o sistema formado por (A) e (B):
\begin{cases} a_{1}+6a_{2}=2{,}73,\\\\ 60a_{1}+374a_{2}=170{,}5. \end{cases}
Multiplico (A) por 60\] para eliminar \(a_{1}:
60a_{1}+360a_{2}=163{,}8.
Subtraindo essa linha da (B):
(60a_{1}+374a_{2})-(60a_{1}+360a_{2})=170{,}5-163{,}8.
Isso dá:
14a_{2}=6{,}7.
Logo
a_{2}=\frac{6{,}7}{14}=0{,}4785714286\ldots
Podemos também escrever em fração comum: a_{2}=\dfrac{67}{140} (exatamente).
Agora uso a_{1}+6a_{2}=2{,}73:
a_{1}=2{,}73-6a_{2}=2{,}73-6\cdot\frac{67}{140}=2{,}73-\frac{402}{140}.
Numérico:
a_{1}=2{,}73-2{,}8714285714\ldots=-0{,}1414285714\ldots
Em fração exata obtém-se a_{1}=-\dfrac{99}{700}.
Finalmente calculo a_{0}=5{,}02-3a_{1}-11a_{2}:
Usando as frações para exatidão:
a_{0}=5{,}02-3\left(-\frac{99}{700}\right)-11\left(\frac{67}{140}\right).
Convertendo e calculando (ou usando os valores decimais):
a_{0}=5{,}02+0{,}4242857143-5{,}2642857143=0{,}18.
Como fração exata a_{0}=\dfrac{63}{350}=0{,}18.
Resumo dos coeficientes (valores exatos e aproximados):
a_{0}=\frac{63}{350}=0{,}18,\quad a_{1}=-\frac{99}{700}\approx-0{,}1414285714,\quad a_{2}=\frac{67}{140}\approx0{,}4785714286.

Passo 6

Construo o polinômio de ajuste com esses coeficientes. Portanto o polinômio de segundo grau que melhor ajusta, em mínimos quadrados, os dados da tabela é
P_{2}(P)=0{,}18-0{,}1414285714\,P+0{,}4785714286\,P^{2},
onde os coeficientes podem também ser escritos exatamente como frações:
P_{2}(P)=\frac{63}{350}-\frac{99}{700}P+\frac{67}{140}P^{2}.

Resposta

P_{2}(P)=0{,}18-0{,}1414285714\,P+0{,}4785714286\,P^{2}

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