1.5 Integração Numérica: Quadratura Gaussiana (2 pontos)
Cenário: A energia potencial
de um sistema físico é dada pela integral
.
Questão: Estime o valor da integral
utilizando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos.
Questão: Estime o valor da integral
Passo 1
O enunciado pede: estime o valor da integral
utilizando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Informações dadas: intervalo de integração
e integrando
. A tarefa é aplicar a fórmula da quadratura de 2 pontos e retornar um valor numérico aproximado.
Passo 2
Vamos apresentar a ideia necessária (passo-a-passo tipo “receita”) para aplicar a quadratura de 2 pontos:
- A regra padrão da quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos é definida no intervalo
. Nela os pontos (nós) e pesos são:
Isto significa que, para uma função
,
- Como nossa integral está em
precisamos transformar (mapear) o intervalo para . O mapeamento linear padrão é
onde aqui
e
. Ao fazer essa mudança de variável, temos
Portanto, para
qualquer,
- Aplicando a quadratura de 2 pontos ao integral mapeado, obtemos a fórmula prática
onde
No nosso caso
e
, portanto a aproximação fica simplesmente
Passo 3
Calculemos os pontos mapeados
. Com
,
e
:
Definindo
(mais prático para as contas), obtemos
Numericamente,
logo
Passo 4
Agora precisamos avaliar a função
em
e
.
Para evitar multiplicações decimais longas, usei a expansão cúbica em termos de
. Como
e
, temos
Portanto
Calculamos
,
e
:
Substituindo:
Passo 5
Agora calculamos as raízes quadradas e as inversas para obter
.
Para
:
logo
Para
:
logo
(Se quiser: usei um passo de refinamento tipo método de Newton para as raízes quadradas e depois calculei os recíprocos; os números acima estão arredondados com precisão suficiente para a estimativa.)
Passo 6
Aplicando a fórmula da quadratura (lembrando que
aqui), a aproximação fica
Somando: