Integração por partes Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral x cos (k-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x cos(k - x) , dx. A matéria que vamos usar aqui é Integração por Partes, uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. Para isso, precisamos identificar qual parte da integral será u e qual será dv. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher as partes u e dv. Uma boa regra é escolher u como a função que fica mais simples quando derivada. Aqui, vou deixar:
u = x e dv = cos(k - x) , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Vamos derivar u e integrar dv:
du = ddx(x) , dx = 1 , dx
Para encontrar v, integremos dv:
v = integral cos(k - x) , dx
Para integrar cos(k - x), podemos usar uma substituição simples. Seja w = k - x, então dw = -dx, ou seja, dx = -dw. A integral fica:
v = integral cos(w) , (-dw) = -integral cos(w) , dw = -sin(w) + C = -sin(k - x) + C
Como estamos trabalhando com integrais indefinidas, podemos ignorar a constante de integração neste passo. Então,
v = -sin(k - x)

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos(k - x) , dx = x cdot (-sin(k - x)) - integral (-sin(k - x)) cdot 1 , dx
Simplificando:
= -x sin(k - x) + integral sin(k - x) , dx

Passo 5

Vamos resolver a segunda integral: integral sin(k - x) , dx. Novamente, fazemos a substituição w = k - x, dw = -dx, então dx = -dw. A integral fica:
integral sin(w) , (-dw) = -integral sin(w) , dw = cos(w) + C = cos(k - x) + C
Então, voltando:
integral x cos(k - x) , dx = -x sin(k - x) + cos(k - x) + C

Resposta

A integral integral x cos(k - x) , dx é igual a:
-x sin(k - x) + cos(k - x) + C
onde C é a constante de integração.

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