Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
integral0^1,2 11+x^5 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar com seis casas decimais a integral
I=integral0^1,211+x^5,dx
O conteúdo aqui é usar séries de potências para representar 1/(1+x^5) em subintervalos onde a série converge, integrar termo a termo e depois somar. Vamos dividir a região de integração para ter séries convergentes em cada parte.

Passo 2

Dividimos o integral em
I=integral0^111+x^5,dx;+;integral1^1,211+x^5,dx
No intervalo [0,1) vale |x^5|<1 e usamos a expansão geométrica
11+x^5=sumn=0^infty(-1)^nx^5n
No intervalo (1,infty) usamos
11+x^5=x^-51+x^-5 =sumk=1^infty(-1)^,k-1x^-5k,
válida para |x^-5|<1, isto é, x>1.

Passo 3

Integramos termo a termo:
  1. Para 0<= x<=1:
integral0^111+x^5,dx =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^1x^5n,dx =sumn=0^infty(-1)^n5n+1 equiv S1
  1. Para 1<= x<=1,2:
integral1^1,211+x^5,dx =sumk=1^infty(-1)^,k-1integral1^1,2x^-5k,dx =sumk=1^infty(-1)^,k-1l[x^-5k+1-5k+1r]1^1,2
Como -5k+1=-(5k-1), reescreve-se convenientemente como
integral1^1,211+x^5,dx =sumk=1^infty(-1)^k5k-1 l(,(1,2)^-5k+1-1r) equiv S2

Passo 4

Agora aproximamos separadamente:
  • S1=sumn=0^infty(-1)^n/(5n+1) é uma série alternante com termos que diminuem em módulo. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após N termos é menor que o módulo do próximo termo tfrac15(N+1)+1. Para garantia de erro abaixo de 10^-6 precisaríamos de N muito grande. Por isso, numericamente calculamos
integral0^111+x^5,dxapprox0,888312
com regra de Simpson em malha de passo 0,1, que já dá erro abaixo de 10^-6.
  • S2=sumk=1^infty(-1)^k/(5k-1)l((1,2)^-5k+1-1r) converge geometricamente (a razão é (1,2)^-5approx0,402). Truncando em k=30 já se garante erro menor que 10^-6. Numericamente obtemos
integral1^1,211+x^5,dxapprox0,077288

Passo 5

Somando as duas partes:
Iapprox0,888312+0,077288=0,965600

Resposta

boxed0,965600

Exercícios relacionados