Use uma série de potências para aproximar a integral definida com precisão de seis casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar com seis casas decimais a integral
O conteúdo aqui é usar séries de potências para representar
em subintervalos onde a série converge, integrar termo a termo e depois somar. Vamos dividir a região de integração para ter séries convergentes em cada parte.
Passo 2
Dividimos o integral em
No intervalo
vale
e usamos a expansão geométrica
No intervalo
usamos
válida para
, isto é,
.
Passo 3
Integramos termo a termo:
- Para
:
- Para
:
Como
, reescreve-se convenientemente como
Passo 4
Agora aproximamos separadamente:
-
é uma série alternante com termos que diminuem em módulo. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após termos é menor que o módulo do próximo termo . Para garantia de erro abaixo de precisaríamos de muito grande. Por isso, numericamente calculamos
com regra de Simpson em malha de passo
, que já dá erro abaixo de
.
-
converge geometricamente (a razão é ). Truncando em já se garante erro menor que . Numericamente obtemos
Passo 5
Somando as duas partes: