Integração por partes Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral arcsem x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral arcsem x , dx usando integração por partes. Essa técnica é útil quando a integral é do tipo produto de duas funções. Para isso, precisamos lembrar a fórmula da integração por partes: integral u , dv = u , v - integral v , du.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa integral serão u e dv. Vamos escolher:
  • u = arcsem x (arco seno de x)
  • dv = dx

Passo 3

Agora, precisamos derivar u para encontrar du e integrar dv para encontrar v:
  • Derivando u = arcsem x, temos du = 1raiz1 - x^2 , dx
  • Integrando dv = dx, temos v = x

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral arcsem x , dx = x cdot arcsem x - integral x cdot 1raiz1 - x^2 , dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
integral xraiz1 - x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples, seja w = 1 - x^2, então dw = -2x , dx, ou seja, x , dx = -12 , dw.

Passo 6

Substituindo na integral:
-12 integral 1raizw , dw = -12 cdot 2 raizw + C = -raizw + C
Voltando para w = 1 - x^2:
-raiz1 - x^2 + C

Passo 7

Voltando à expressão original:
integral arcsem x , dx = x cdot arcsem x - (-raiz1 - x^2) + C
Simplificando:
x cdot arcsem x + raiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral integral arcsem x , dx é igual a x cdot arcsem x + raiz1 - x^2 + C.

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