Integração por partes Derive a resposta a fim de conferir o resultado.
integral raizx ln x d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente resolver a integral integral raizx ln x , dx usando integração por partes. Isso é uma técnica de cálculo que ajuda quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar escolher qual parte da integral será u e qual será dv.

Passo 2

Primeiro, lembremos da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher u e dv de forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar e dv como a parte que conseguimos integrar facilmente.
Vamos escolher:
  • u = ln x
  • dv = raizx , dx = x^1/2 , dx

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivando u:
du = ddx (ln x) , dx = 1x , dx
  • Integrando dv para achar v:
v = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2

Passo 4

Substituindo na fórmula da integração por partes:
integral raizx ln x , dx = uv - integral v , du
Ou seja:
= ln x cdot 23 x^3/2 - integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral 23 x^3/2 cdot 1x , dx = 23 integral x^3/2 - 1 , dx = 23 integral x^1/2 , dx
Agora, integramos x^1/2:
23 cdot 23 x^3/2 = 49 x^3/2

Passo 6

Finalmente, substituindo de volta na expressão:
integral raizx ln x , dx = 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 + C

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
integral raizx ln x , dx = 23 x^3/2 ln x - 49 x^3/2 + C

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