As temperaturas de Einstein do chumbo, do alumínio e do berílio, podem ser consideradas iguais a 68 \mathrm{~K}, 290 \mathrm{~K} e 690 \mathrm{~K}, respectivamente. Para cada um destes elementos, determine o espaçamento \Delta E entre níveis adjacentes do oscilador.

Passo 1

O enunciado nos dá as temperaturas de Einstein \theta_E para três elementos (chumbo, alumínio e berílio) e pede o espaçamento \Delta E entre níveis adjacentes do oscilador quântico. O conceito de temperatura de Einstein está ligado ao oscilador harmônico quântico e satisfaz
\theta_E = \frac{\Delta E}{k_B}\,,
onde k_B é a constante de Boltzmann. Para resolver, precisaremos de k_B\approx1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K} (ou a forma em eV/K) e depois calcular \Delta E em joules e converter para eV, se desejado.

Passo 2

Da relação
\theta_E = \frac{\Delta E}{k_B}
isolamos \Delta E:
\Delta E = k_B\,\theta_E.

Passo 3

Calculamos \Delta E em joules para cada elemento usando k_B = 1{,}38\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}:
\Delta E_{\rm Pb} = (1{,}38\times10^{-23})\cdot68 = 9{,}38\times10^{-22}\,\mathrm{J},
\Delta E_{\rm Al} = (1{,}38\times10^{-23})\cdot290 = 4{,}00\times10^{-21}\,\mathrm{J},
\Delta E_{\rm Be} = (1{,}38\times10^{-23})\cdot690 = 9{,}52\times10^{-21}\,\mathrm{J}.

Passo 4

Para converter para elétron-volt, usamos 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}:
\Delta E_{\rm Pb} = \frac{9{,}38\times10^{-22}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx5{,}9\times10^{-3}\,\mathrm{eV},
\Delta E_{\rm Al} = \frac{4{,}00\times10^{-21}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx2{,}5\times10^{-2}\,\mathrm{eV},
\Delta E_{\rm Be} = \frac{9{,}52\times10^{-21}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx5{,}9\times10^{-2}\,\mathrm{eV}.

Resposta

Para o chumbo:
\Delta E = 9{,}38\times10^{-22}\,\mathrm{J}\approx5{,}9\times10^{-3}\,\mathrm{eV}.
Para o alumínio:
\Delta E = 4{,}00\times10^{-21}\,\mathrm{J}\approx2{,}5\times10^{-2}\,\mathrm{eV}.
Para o berílio:
\Delta E = 9{,}52\times10^{-21}\,\mathrm{J}\approx5{,}9\times10^{-2}\,\mathrm{eV}.

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