Integrais
integral x^3+3 x^2-4x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral x^3+3 x^2-4x^2 , dx. Estamos trabalhando com integrais, mais especificamente com a técnica de simplificação da fração antes de integrar. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão algébrica e depois aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da integral. Isso significa dividir cada termo do numerador pelo denominador:
x^3x^2 + 3x^2x^2 - 4x^2 = x + 3 - 4x^2
Agora a integral fica mais simples:
integral ( x + 3 - 4x^2 ) , dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em três partes diferentes. Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de funções é igual à soma (ou subtração) das integrais:
integral x , dx + integral 3 , dx - integral 4x^2 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de x:
    A integral de x em relação a x é dada por:
integral x , dx = 12x^2
Isso vem da regra de potência, onde integral x^n , dx = x^n+1n+1.
  1. Integral de 3:
    A integral de uma constante é simplesmente a constante vezes x:
integral 3 , dx = 3x
  1. Integral de -4x^2:
    Primeiro, reescrevemos -4x^2 como -4x^-2.
    Então, aplicando a regra de potência:
integral -4x^-2 , dx = -4 cdot ( x^-1-1 ) = 4x

Passo 5

Agora, juntamos todas as partes integradas e adicionamos a constante de integração C:
12x^2 + 3x + 4x + C

Resposta

A integral de x^3+3 x^2-4x^2 , dx é:
12x^2 + 3x + 4x + C
Onde C é a constante de integração.

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