4- Verifique que y é uma solução da EDO. Determine a partir de y a solução particular que satisfaça à condição inicial.
a) y^prime=0,5 y, y=c e^0,5 x, y(2)=2
b) y^prime=1+4 y^2, y=0,5 cdot tan (2 x+c), y(0)=0

Passo 1

O enunciado apresenta dois problemas de EDO de primeira ordem com solução geral já dada e uma condição inicial. Nosso conteúdo aqui é (i) verificar que a função proposta satisfaz a EDO e (ii) usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Caso (a): temos
y' = 0,5,y,
solução geral
y = c,e^0,5x
Vamos calcular a derivada de y:
y' = ddxl(c,e^0,5xr) = c cdot 0,5,e^0,5x = 0,5l(c,e^0,5xr) = 0,5,y
Logo, a função proposta realmente satisfaz a EDO.

Passo 3

Impondo a condição y(2)=2, substituímos na solução geral:
y(2) = c,e^0,5cdot 2 = c,e^1 = 2 Longrightarrow c = 2,e^-1
Portanto, a solução particular é
y = 2,e^-1,e^0,5x = 2,e^0,5x - 1

Passo 4

Caso (b): temos
y' = 1 + 4,y^2,
solução geral
y = 0,5,tanl(2x + Cr)
Calculamos a derivada usando ddutan u = sec^2 u:
y' = 0,5 cdot 2,sec^2(2x + C) = sec^2(2x + C) = 1 + tan^2(2x + C)
Como tan(2x + C) = 2y, segue
y' = 1 + (2y)^2 = 1 + 4,y^2,
confirmando que a proposta satisfaz a EDO.

Passo 5

Impondo y(0)=0 na solução geral:
0 = y(0) = 0,5,tan(C) Longrightarrow tan(C) = 0 Longrightarrow C = kpi,,kinZ
Sem perda de generalidade escolhemos C=0. Assim, a solução particular fica
y = 0,5,tan(2x)

Resposta

(a) y = 2,e^-1,e^0,5x = 2,e^0,5x-1
(b) y = 0,5,tan(2x)

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