Questão 8. Sendo F(s)=s^2+6 s+9(s-1)(s-2)(s+4), então, podemos afirmar que f(t)=L^-1F(s) é:
(a) -165 e^-2 t+256 e^2 t+130 e^4 t
(b) -165 e^t+256 e^2 t+130 e^4 t
(c) -165 e^t+e^-2 t+130 e^4 t
(d) -165 e^t+256 e^2 t+e^4 t
(e) -165 e^t+256 e^2 t+130 e^-4 t
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Passo 1

O enunciado dá a função de Laplace
F(s) = s^2 + 6s + 9(s-1)(s-2)(s+4)
e pede f(t)=L^-1F(s).
Conteúdo: transformada inversa via frações parciais e uso de
L^-1tfrac1s-a=e^at.

Passo 2

Vamos decompor em frações parciais:
s^2+6s+9(s-1)(s-2)(s+4) = As-1+Bs-2+Cs+4
Multiplicando pelos denominadores, obtemos
s^2+6s+9 = A(s-2)(s+4) + B(s-1)(s+4) + C(s-1)(s-2)

Passo 3

Para achar A,B,C usamos raízes dos fatores:
  • Em s=1: 1+6+9=16 = A,(1-2)(1+4) = -5A, logo
A = -tfrac165
  • Em s=2: 4+12+9=25 = B,(2-1)(2+4) =6B, logo
B = tfrac256
  • Em s=-4: 16 -24 +9=1 = C,(-4-1)(-4-2)=30C, logo
C = tfrac130

Passo 4

Como
L^-1tfrac1s-1=e^t,
L^-1tfrac1s-2=e^2t e
L^-1tfrac1s+4=e^-4t,
temos
f(t) = A,e^t + B,e^2t + C,e^-4t = -tfrac165e^t + tfrac256e^2t + tfrac130e^-4t

Passo 5

Comparando com as alternativas, corresponde à letra (e).

Resposta

(e)

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