2- Resolva por integração as seguintes EDOs.
a) d yd x=-sen(pi x)
b) d yd x=e^-3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver por integração as EDOs
dydx = -sin(pi x)
e
dydx = e^-3x.
Trata-se de EDOs de primeira ordem em que a derivada de y está isolada e o lado direito é função apenas de x. A técnica é integrar ambos os lados em relação a x, usando que
integral dydx,dx = y + C

Passo 2

Para dydx = -sin(pi x), integramos:
y = integral -sin(pi x),dx + C1
Fazendo u = pi x, temos du = pi,dx e dx = dupi. Então
integral -sin(pi x),dx = -integral sin(u),dupi = -1piintegral sin(u),du = 1picos(u) + constante
Voltando a x,
y(x) = 1picos(pi x) + C1

Passo 3

Para dydx = e^-3x, usamos a fórmula integral e^axdx = tfrac1ae^ax+C. Logo,
y = integral e^-3x,dx + C2 = -13e^-3x + C2

Resposta

a) y(x) = 1picos(pi x) + C.
b) y(x) = -13e^-3x + C.

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