Qual das integrais em coordenadas polares abaixo representa o volume do sólido entre o cilindro
e esfera
(conforme a figura ao lado) ?
(a)
(b)
©
(D)
(e) NRA
(a)
(b)
©
(D)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar qual das integrais em coordenadas polares representa o volume do sólido que está entre o cilindro
e a esfera
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares (ou cilíndricas) e entender como configurar a integral para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
- Cilindro
: Este é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo z. - Esfera
: Esta é uma esfera com raio 3, centrada na origem.
Queremos encontrar o volume entre esses dois objetos. Para isso, vamos usar coordenadas polares, onde
representa a distância do ponto até a origem no plano xy, e
é o ângulo em relação ao eixo x.
Passo 3
Em coordenadas polares, a equação do cilindro
se torna
, e a da esfera
se rearranja para
.
Para calcular o volume entre o cilindro e a esfera, precisamos integrar em
,
, e
:
- Limites para
: Como estamos lidando com uma figura completa em torno do eixo z, varia de a . - Limites para
: O raio varia do cilindro (1) até o raio da esfera (3), então de a . - Limites para
: Para cada , varia de a .
A fórmula para o volume em coordenadas polares é dada por:
Passo 4
Vamos simplificar a integral:
- Integramos primeiro em
:
- Substituindo de volta, a integral fica:
- Podemos fatorar o 2:
- Observando as opções, vemos que a única que corresponde a essa forma, após considerar a constante multiplicativa, é a opção ©.
Resposta
©