Qual das integrais em coordenadas polares abaixo representa o volume do sólido entre o cilindro x^2+y^2=1 e esfera x^2+y^2+z^2=9 (conforme a figura ao lado) ?
(a) integral0^2 pi integral1^3 raiz9-r^2 d r d theta
(b) integral0^pi / 2 integral0^3 2 raiz9-r^2 d r d theta
© integral0^2 pi integral1^3 4 r raiz9-r^2 d r d theta
(D) integral0^pi / 2 integral1^3 8 r raiz9-r^2 d r d theta
(e) NRA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar qual das integrais em coordenadas polares representa o volume do sólido que está entre o cilindro e a esfera . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares (ou cilíndricas) e entender como configurar a integral para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • Cilindro : Este é um cilindro circular com raio 1, centrado no eixo z.
  • Esfera : Esta é uma esfera com raio 3, centrada na origem.
Queremos encontrar o volume entre esses dois objetos. Para isso, vamos usar coordenadas polares, onde representa a distância do ponto até a origem no plano xy, e é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Em coordenadas polares, a equação do cilindro V = integral0^2pi integral1^3 integral-raiz9 - r^2^raiz9 - r^2 r , dz , dr , dtheta se torna , e a da esfera se rearranja para .
Para calcular o volume entre o cilindro e a esfera, precisamos integrar em , , e :
  1. Limites para : Como estamos lidando com uma figura completa em torno do eixo z, varia de a .
  2. Limites para : O raio varia do cilindro (1) até o raio da esfera (3), então de a .
  3. Limites para : Para cada , varia de a .
A fórmula para o volume em coordenadas polares é dada por:

Passo 4

Vamos simplificar a integral:
  1. Integramos primeiro em integral-raiz9 - r^2^raiz9 - r^2 dz = 2raiz9 - r^2 :
V = integral0^2pi integral1^3 2raiz9 - r^2 cdot r , dr , dtheta
  1. Substituindo de volta, a integral fica:
V = 2 integral0^2pi integral1^3 rraiz9 - r^2 , dr , dtheta
  1. Podemos fatorar o 2:
  1. Observando as opções, vemos que a única que corresponde a essa forma, após considerar a constante multiplicativa, é a opção ©.

Resposta

©

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