Integrais envolvendo produtos de senos e cossenos
Para calcular as integrais
(a) \int \sin (m x) \cos (n x) d x,
(b) \int \sin (m x) \sin (n x) d x,
(c) \int \cos (m x) \cos (n x) d x,
usa-se a identidade correspondente:
\begin{aligned} & \text { (a) } \sin A \cos B=\frac{1}{2}[\sin (A-B)+\sin (A+B)], \\\ & \text { (b) } \sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)], \\\ & \text { \text{(c)} } \cos A \cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)] . \end{aligned}
A partir das relações acima, calcule as integrais a seguir:
\int \sin (2 x) \cos (3 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx
usando identidades trigonométricas que transformam produto em soma.

Passo 2

A identidade útil é
\sin A\cos B = \frac12\bigl[\sin(A - B) + \sin(A + B)\bigr].
Tomando A=2x e B=3x obtemos
\sin(2x)\cos(3x) = \frac12\bigl[\sin(2x-3x)+\sin(2x+3x)\bigr] = \frac12\bigl[\sin(-x)+\sin(5x)\bigr] = \frac12\bigl[-\sin(x)+\sin(5x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, ficamos com
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \int \frac12\bigl[-\sin(x)+\sin(5x)\bigr]\,dx = \frac12\int -\sin(x)\,dx \;+\; \frac12\int \sin(5x)\,dx.

Passo 4

Agora integramos cada termo:
\int -\sin(x)\,dx = \cos(x), \qquad \int \sin(5x)\,dx = -\frac{1}{5}\cos(5x).
Logo
\int \sin(2x)\cos(3x)\,dx = \frac12\cos(x) + \frac12\Bigl(-\frac{1}{5}\cos(5x)\Bigr) + C = \frac12\cos(x) - \frac{1}{10}\cos(5x) + C.

Resposta

\frac12\cos(x) - \frac{1}{10}\cos(5x) + C.

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