Resolva as seguintes integrais indefinidas utilizando a Regra da Substituição:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx
usando a regra da substituição. Vamos aproveitar que o denominador envolve x^{2}+9 e o numerador é x\,dx, sugerindo a escolha de u=x^{2}+9.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{2} + 9,
cuja diferencial é
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du.

Passo 3

Em termos de u, a raiz fica \sqrt{x^{2}+9}=\sqrt{u} e x\,dx=\tfrac12\,du. Logo:
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac12\,du = \frac12 \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Integramos em u. Como
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12},
temos
\frac12 \int u^{-\tfrac12}\,du = \frac12 \cdot 2\,u^{\tfrac12} + C = u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+9, obtendo
u^{\tfrac12} = \sqrt{x^{2}+9}.

Resposta

\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx = \sqrt{x^{2}+9} + C.

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