Mostre que a solução pós-transiente do oscilador harmônico amortecido sujeito a uma força externa variável
(a)
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\gamma \frac{d x}{d t}+\omega_{0}^{2} x=f_{0} \cos \omega t
onde \gamma, \omega_{0}, f_{0} e \omega são constantes reais, e ambas as variáveis x e t são reais, é dada por
x(t)=\operatorname{Re}\left\{\frac{f_{0} e^{-i \omega t}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)-i \gamma \omega}\right\}
(b) Mostre que a expressão real de x(t) é
x(t)=\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}} f_{0} \cos \omega t+\frac{\gamma \omega}{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}} f_{0} \sin \omega t
(c) Definindo o ângulo \varphi_{0} como
\left\{ \begin{array}{l} \omega_{0}^{2}-\omega^{2}=\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}} \cos \varphi_{0} \\\ \gamma \omega=\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}} \sin \varphi_{0} \end{array} \Rightarrow \tan \varphi_{0}=\frac{\sin \varphi_{0}}{\cos \varphi_{0}}=\frac{\gamma \omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right.
mostre que podemos colocar a solução do item (b) numa forma mais fácil de interpretar
x(t)=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}}} \cos \left(\omega t-\varphi_{0}\right)
(d) O que acontece quando \omega=\omega_{0} ?

Passo 1

O enunciado pede a solução de regime permanente (pós-transiente) da equação
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\gamma\frac{dx}{dt}+\omega_{0}^{2}x=f_{0}\cos\omega t
usando o método dos expo­nenciais complexos. Vamos representar a força como a parte real de f_{0}e^{-i\omega t} e buscar uma solução particular da forma x_{c}(t)=A\,e^{-i\omega t}, onde A é, em geral, complexo.

Passo 2

Substituindo x_{c}(t)=A\,e^{-i\omega t} em
x_{c}''+\gamma x_{c}'+\omega_{0}^{2}x_{c}=f_{0}e^{-i\omega t}
temos
(-\omega^{2}A)+\gamma(-i\omega A)+\omega_{0}^{2}A =f_{0} \;\;\Longrightarrow\;\; A\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}-i\gamma\omega\bigr)=f_{0}
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A=\frac{f_{0}}{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i\gamma\omega}\,.

Passo 3

A solução de regime permanente é a parte real de x_{c}(t). Portanto mostramos (item a) que
x(t) =\operatorname{Re}\biggl\{\frac{f_{0}e^{-i\omega t}} {\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i\gamma\omega}\biggr\}\,.

Passo 4

Escrevendo
\frac{f_{0}}{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)-i\gamma\omega} =\frac{f_{0}\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\gamma\omega\bigr)} {\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\bigr)^{2}+(\gamma\omega)^{2}} =a+ib
onde
a=\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})f_{0}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}} \,,\quad b=\frac{\gamma\omega\,f_{0}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\,,
então
x(t)=\operatorname{Re}\bigl[(a+ib)(\cos\omega t-i\sin\omega t)\bigr] =a\cos\omega t+b\sin\omega t\,.
Isso é exatamente o item (b):
x(t) =\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\,f_{0}\cos\omega t +\frac{\gamma\omega} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\,f_{0}\sin\omega t.

Passo 5

Definindo \varphi_{0} por
\omega_{0}^{2}-\omega^{2} =R\cos\varphi_{0} \,,\qquad \gamma\omega =R\sin\varphi_{0} \,,\quad R=\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}
temos \tan\varphi_{0}=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} e
a\cos\omega t+b\sin\omega t =\frac{f_{0}}{R}\bigl(\cos\varphi_{0}\cos\omega t+\sin\varphi_{0}\sin\omega t\bigr) =\frac{f_{0}}{R}\cos(\omega t-\varphi_{0})\,.
Essa é a forma do item (c):
x(t) =\frac{f_{0}} {\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr)\,.

Passo 6

Quando \omega=\omega_{0} temos
R=\sqrt{0+\gamma^{2}\omega_{0}^{2}}=\gamma\omega_{0} \,,\quad \varphi_{0}=\frac{\pi}{2} \quad(\text{pois }\omega_{0}^{2}-\omega^{2}=0)
e a solução fica
x(t)=\frac{f_{0}}{\gamma\omega_{0}}\cos\bigl(\omega_{0}t-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{f_{0}}{\gamma\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t)\,.
Isso mostra a ressonância amortecida, com defasagem de 90^\circ.

Resposta

(a) x(t)=\operatorname{Re}\Bigl\{\displaystyle\frac{f_{0}e^{-i\omega t}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})-i\gamma\omega}\Bigr\}.
(b) x(t) =\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\,f_{0}\cos\omega t +\frac{\gamma\omega} {(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}\,f_{0}\sin\omega t.
(c) x(t) =\frac{f_{0}} {\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr), \quad \tan\varphi_{0}=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}.
(d) Para \omega=\omega_{0},
x(t)=\frac{f_{0}}{\gamma\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t),
ou seja, amplitude máxima amortecida e defasagem de 90^\circ.

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