Integrais
I=\int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{-\frac{3}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}}\,dx.
Esse tipo de integral envolve funções do tipo \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}, para as quais usamos a simetria de função par e a antiderivada baseada em \arcsin.

Passo 2

Como \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}} é uma função par (isto é, f(-x)=f(x)), podemos escrever
I = 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}}\,dx.

Passo 3

Para determinar a antiderivada de \frac{1}{\sqrt{9-4x^2}}, fazemos a substituição
u = 2x,\quad du = 2\,dx,\quad dx = \frac{du}{2},
e observamos que \sqrt{9 - 4x^2} = \sqrt{9 - u^2}. Assim,
\int \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{9 - u^2}}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{9 - u^2}} = \frac{1}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{u}{3}\Bigr)+C = \frac{1}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{2x}{3}\Bigr)+C.

Passo 4

Avaliamo a integral de 0 a \tfrac{3}{2}:
\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{\sqrt{9 - 4x^2}}\,dx = \left[\frac{1}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{2x}{3}\Bigr)\right]_{0}^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2}\bigl(\arcsin(1)-\arcsin(0)\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-0\bigr) = \frac{\pi}{4}.
Multiplicando por 2, fica
I = 2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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