Integrais
I=\int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = \int_{-2}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx
Note que há dois pontos críticos:
  1. A singularidade em x=-1, onde o denominador zera.
  2. O limite superior infinito.
    Para estudar a convergência, vamos obter a antiderivada de (x+1)^{-3} e depois analisar separadamente os dois trechos.

Passo 2

Calcular a antiderivada de \dfrac{1}{(x+1)^{3}}=(x+1)^{-3}.
Usando a regra de potência:
\int (x+1)^{-3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2\,(x+1)^{2}} + C.

Passo 3

Expressar a integral imprópria como soma de dois limites:
I = \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx \;+\; \int_{-1}^{+\infty} \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx.

Passo 4

Analisar a parte de -2 até -1. Seja a\to -1^{-}:
\int_{-2}^{a} (x+1)^{-3}\,dx =\left[-\frac{1}{2\,(x+1)^{2}}\right]_{x=-2}^{x=a} =\biggl(-\frac{1}{2\,(a+1)^{2}}\biggr) -\biggl(-\frac{1}{2\,( -2+1)^{2}}\biggr).
Como a\to -1^{-}, (a+1)^{2}\to 0^{+} e -\tfrac{1}{2\,(a+1)^{2}}\to -\infty. Portanto essa parte diverge para -\infty.

Passo 5

Mesmo sem avaliar a parte de -1 a +\infty, já basta que uma das parcelas diverja para concluir que a integral total não converge.

Resposta

A integral diverge (não converge).

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