Integrais
I=\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I=\int_{1}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx.
O conteúdo necessário é reconhecer que a primitiva de \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} pode ser obtida por uma substituição hiperbólica ou lembrando a forma padrão
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\bigr) + C.

Passo 2

Vamos usar a substituição hiperbólica x=\operatorname{cosh} u. Nesse caso
dx = \operatorname{sinh} u\,du,
\sqrt{x^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{cosh}^{2}u-1} = \operatorname{sinh} u.
Logo o integrando fica
\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\,dx = \frac{1}{\operatorname{sinh} u}\,\bigl(\operatorname{sinh} u\,du\bigr) = du.
Assim uma primitiva é
u + C = \operatorname{arccosh}(x) + C
e como \operatorname{arccosh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr), temos
\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-1}} = \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr) + C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo nos limites de 1 a 2,
I = \Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}-1}\bigr)\Bigr]_{1}^{2} = \ln\bigl(2+\sqrt{2^{2}-1}\bigr) - \ln\bigl(1+\sqrt{1^{2}-1}\bigr).
Como \sqrt{2^{2}-1}=\sqrt{3} e \sqrt{1-1}=0, isso vira
I = \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr) - \ln(1) = \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Resposta

I = \ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

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