Integrais
integral 13 x^2-x d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular
integral 13x^2-x,dx
Isso é um problema de integrais de funções racionais. Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Fatorar o denominador.
  2. Decompor em frações parciais.
  3. Saber que integral 1xdx=ln|x|+C e usar propriedade de constantes na integral.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
3x^2-x = x,(3x-1)
Logo a integral vira
integral 1x(3x-1),dx

Passo 3

Agora a gente faz a decomposição em frações parciais. Escrevemos:
1x(3x-1) = Ax + B3x-1
Multiplicando ambos os lados por x(3x-1), dá:
1 = A(3x-1) + Bx
Isso é um polinômio em x. Igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de x: 3A + B = 0.
  • Termo constante: -A = 1.
    Daí A = -1 e B = 3.
    Então
1x(3x-1) = -1x + 33x-1

Passo 4

Integramos cada pedacinho:
integral (-1x + 33x-1) dx = integral -1xdx ;+; integral 33x-1dx
  1. integral -1xdx = -ln|x|
  2. integral 33x-1dx = 3 integral 13x-1dx
    Na segunda, usamos a substituição u=3x-1, du=3,dx, então
integral 13x-1dx = 13ln|3x-1|
Multiplicando por 3 volta ln|3x-1|.

Passo 5

Somando as duas partes:
-ln|x| + ln|3x-1| + C
Aí a gente pode juntar no log só:
ln!l|3x-1xr| + C

Resposta

ln!l|3x-1xr| + C

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