Utilizando a Regra da Cadeia e as demais regras (quando necessário), determine as derivadas de y em relação a x, conforme o caso das funções abaixo:
y=ln (x^3)sen(x^5+1)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função
y = lnl(x^3r)sinl(x^5+1r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia combinada com a regra do quociente. Vamos precisar também das derivadas elementares de ln(u) e de sin(u).

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente. Se
y = u(x)v(x),
então
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
No nosso caso,
u(x) = lnl(x^3r), v(x) = sinl(x^5+1r)

Passo 3

Calculamos u'(x). Note que
u(x) = lnl(x^3r) = 3,ln(x),
então, usando a regra da cadeia (derivada de ln(x) é 1/x), vem
u'(x) = 3 cdot 1x = 3x

Passo 4

Calculamos v'(x). Aqui usamos a regra da cadeia para sin(w):
ddxsinl(w(x)r) = cosl(w(x)r),w'(x)
Com w(x)=x^5+1 temos w'(x)=5x^4. Logo
v'(x) = cosl(x^5+1r),cdot 5x^4 = 5x^4cosl(x^5+1r)

Passo 5

Agora substituímos u, u', v e v' na regra do quociente:
y' = 3x,sinl(x^5+1r) ;-;lnl(x^3r),l(5x^4cosl(x^5+1r)r) sin^2l(x^5+1r)
Para simplificar um pouco, podemos manter assim ou fatorar se quisermos.

Resposta

y' = 3x,sinl(x^5+1r) ;-;5x^4lnl(x^3r),cosl(x^5+1r) sin^2l(x^5+1r)

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