( 1,5 pontos) Considere a seguinte função
f(x)=x^3-9 x^2+15-5
Determine:
(a) os intervalos onde a função é crescente e decrescente.
(b) os possíveis pontos críticos.
(c) os extremos (máximos e mínimos) locais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^3-9x^2+15x-5
e pede:
(a) intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) pontos críticos;
(c) extremos locais.
Para isso vamos usar derivada, resolver f'(x)=0 e estudar o sinal de f'.

Passo 2

Calcular a derivada de f aplicando a regra do poder termo a termo:
f'(x)=3x^2-18x+15

Passo 3

Obter os pontos críticos resolvendo
3x^2-18x+15=0
Dividindo por 3:
x^2-6x+5=0Longrightarrow(x-1)(x-5)=0,
logo os possíveis pontos críticos são
x=1e x=5

Passo 4

Como f'(x) é um quadrático com coeficiente positivo, seus zeros em 1 e 5 fazem com que
f'(x)>0para xin(-infty,1)cup(5,infty),
f'(x)<0para xin(1,5)
Logo f é crescente em (-infty,1) e em (5,infty), e decrescente em (1,5).

Passo 5

Em x=1 a derivada passa de positiva para negativa, indicando máximo local; em x=5 passa de negativa para positiva, indicando mínimo local. Calculando os valores:
f(1)=1-9+15-5=2,
f(5)=125-225+75-5=-30

Resposta

(a) Crescente em (-infty,1) e em (5,infty); decrescente em (1,5).
(b) Pontos críticos em x=1 e x=5.
(c) Máximo local em (1,2); mínimo local em (5,-30).

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