( 1,5 pontos) Considere a seguinte função
Determine:
(a) os intervalos onde a função é crescente e decrescente.
(b) os possíveis pontos críticos.
(c) os extremos (máximos e mínimos) locais.
(a) os intervalos onde a função é crescente e decrescente.
(b) os possíveis pontos críticos.
(c) os extremos (máximos e mínimos) locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) pontos críticos;
(c) extremos locais.
Para isso vamos usar derivada, resolver e estudar o sinal de
.
(a) intervalos de crescimento e decrescimento;
(b) pontos críticos;
(c) extremos locais.
Para isso vamos usar derivada, resolver
Passo 2
Calcular a derivada de
aplicando a regra do poder termo a termo:
Passo 3
Obter os pontos críticos resolvendo
Dividindo por 3:
logo os possíveis pontos críticos são
Passo 4
Como
é um quadrático com coeficiente positivo, seus zeros em 1 e 5 fazem com que
Logo
é crescente em
e em
, e decrescente em
.
Passo 5
Em
a derivada passa de positiva para negativa, indicando máximo local; em
passa de negativa para positiva, indicando mínimo local. Calculando os valores:
Resposta
(a) Crescente em
e em
; decrescente em
.
(b) Pontos críticos em e
.
(c) Máximo local em ; mínimo local em
.
(b) Pontos críticos em
(c) Máximo local em