As integrais são usadas para calcular áreas e volumes de formas irregulares em duas ou três dimensões. Determine a área da região A , delimitada pela curva y = x 3 + x , pelo eixo x e pelas retas x = − 2 e x = 1 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área da região $ A $ que é limitada pela curva $ y = x^3 + x $, pelo eixo $ x $ e pelas retas $ x = -2 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar noções de integrais, que são ferramentas matemáticas que ajudam a calcular áreas de formas irregulares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a curva $ y = x^3 + x $ faz no intervalo de $ x = -2 $ a $ x = 1 $. É importante saber onde essa curva está acima ou abaixo do eixo $ x $, porque isso influencia no cálculo da área.

Passo 3

Vamos encontrar onde a curva cruza o eixo $ x $. Para isso, igualamos $ y $ a zero:
x
Resolvendo essa equação:
y
Então, a curva cruza o eixo $ x $ apenas em $ x = 0 $ nesse intervalo.

Passo 4

Agora, sabemos que de $ x = -2 $ a $ x = 0 $, a curva está abaixo do eixo $ x $, e de $ x = 0 $ a $ x = 1 $, está acima. Como a área não pode ser negativa, vamos calcular duas integrais separadas e somá-las, tirando o valor absoluto onde necessário.

Passo 5

Vamos calcular a integral de $ x = -2 $ a $ x = 0 $:
x = -2
Primeiro, encontramos a antiderivada:
x = 0
Calculando de -2 a 0:
integral-2^0 (x^3 + x) , dx
Como a área é positiva:
x^44 + x^22

Passo 6

Agora, calculamos a integral de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
x = 0
Novamente, a antiderivada é:
x = 1
Calculando de 0 a 1:
integral0^1 (x^3 + x) , dx

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas que encontramos:
6 + 34 = 244 + 34 = 274 = 6,75

Resposta

A área da região $ A $ é $ 6,75 $ unidades quadradas.

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