Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x, m e n par
\cos ^{2} x =\frac{1}{2}(1+\cos 2 x)
\sin ^{2} x =\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)
3. \int_{0}^{\pi} \sin ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{\pi} \sin^{4}x\,dx
O conteúdo aqui é o uso das fórmulas de redução de potência para potências pares de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos primeiro
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
para reescrever
\sin^{4}x = \bigl(\sin^{2}x\bigr)^{2} = \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}\,(1 - \cos 2x)^{2}.

Passo 3

Expandimos o quadrado
(1 - \cos 2x)^{2} = 1 - 2\cos 2x + \cos^{2}2x,
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\sin^{4}x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos 2x + \cos^{2}2x\Bigr).

Passo 4

Para tratar \cos^{2}2x, usamos
\cos^{2}2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}.
Substituindo em \sin^{4}x fica
\sin^{4}x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos 2x + \tfrac{1 + \cos 4x}{2}\Bigr) = \frac{1}{4}\Bigl(\tfrac{3}{2} - 2\cos 2x + \tfrac{\cos 4x}{2}\Bigr).

Passo 5

Distribuindo o \tfrac{1}{4}:
\sin^{4}x = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x.
Assim
I = \int_{0}^{\pi}\sin^{4}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x\Bigr)\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{\pi}\frac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}\,\pi, \quad \int_{0}^{\pi}\cos 2x\,dx = 0, \quad \int_{0}^{\pi}\cos 4x\,dx = 0.
Portanto
I = \frac{3}{8}\,\pi - \frac{1}{2}\cdot 0 + \frac{1}{8}\cdot 0 = \frac{3\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{8}

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