integral-3^4|-5 x+2| d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida integral-3^4|-5x+2|,dx. Isso envolve o conteúdo de integrais de funções definidas por partes (módulo), e precisamos usar a ideia de encontrar onde o argumento do módulo muda de sinal para dividir a integral.

Passo 2

Vamos achar o ponto em que -5x+2=0. Resolvendo -5x+2=0 obtemos x=2/5. Para x<2/5, temos -5x+2>0 e, portanto, |-5x+2|=-5x+2. Para x>2/5, fica -5x+2<0 e então |-5x+2|=-( -5x+2)=5x-2. Assim dividimos a integral em
integral-3^4|-5x+2|,dx=integral-3^2/5(-5x+2),dx+integral2/5^4(5x-2),dx

Passo 3

Na primeira parte, integramos f(x)=-5x+2. Uma primitiva é F(x)=-52x^2+2x. Avaliando de -3 até 2/5:
Fl(2/5r)-F(-3)=l(-tfrac52(2/5)^2+2cdottfrac25r)-l(-tfrac52cdot9+2cdot(-3)r)=tfrac28910

Passo 4

Na segunda parte, integramos g(x)=5x-2. Uma primitiva é G(x)=tfrac52x^2-2x. Avaliando de 2/5 até 4:
G(4)-Gl(2/5r)=l(tfrac52cdot16-2cdot4r)-l(tfrac52(2/5)^2-2cdottfrac25r)=tfrac32410

Passo 5

Somando as duas contribuições da integral por partes, temos
tfrac28910+tfrac32410=tfrac61310

Resposta

integral-3^4|-5x+2|,dx=tfrac61310.

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