integral0^pi / 2 f(x) d x onde
f(x)= sec ^2 x, & 0 <= x <= pi / 4 csc ^2 x, & pi / 4

Passo 1

O enunciado pede calcular integral0^pi/2f(x),dx, onde a função é dada por
f(x)= sec^2x, &0<= x<=pi/4 csc^2x,&pi/4
O conteúdo envolve integral de função definida por partes e as primitivas de sec^2x e csc^2x.

Passo 2

Para começar, dividimos a integral no ponto x=pi/4 e calculamos a primeira parte:
integral0^pi/2f(x),dx =integral0^pi/4sec^2x,dx +integralpi/4^pi/2csc^2x,dx
Como ddx(tan x)=sec^2x, temos
integral0^pi/4sec^2x,dx=tan x|0^pi/4=tan(pi/4)-tan(0)=1-0=1

Passo 3

Agora calculamos a segunda parte. Sabendo que ddx(cot x)=-csc^2x, a primitiva de csc^2x é -cot x. Logo:
integralpi/4^pi/2csc^2x,dx=-cot x|pi/4^pi/2= [-cot(pi/2)]-[-cot(pi/4)]=0-(-1)=1

Passo 4

Por fim, somamos as duas parcelas para obter o valor da integral.

Resposta

2

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