Use a integração por partes (13) para calcular a integral dada. Escreva as respostas na finn a+i b.
integrali^1+i z e^z d z

Passo 1

Estamos calculando a integral complexa integrali^1+i z,e^z ,dz usando integração por partes e aproveitando que e^z é função inteira (portanto tem primitiva simples).

Passo 2

A fórmula de integração por partes em contexto complexo é a mesma do real: integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos escolher u=z e dv=e^z ,dz.

Passo 3

Com u=z temos du=dz e, integrando dv=e^z ,dz, obtemos v=e^z. Logo a primitiva geral é

Passo 4

Agora aplicamos essa primitiva nos limites de z=i até z=1+i:

Passo 5

A parte interna simplifica para:

Passo 6

Agora escrevemos e^1+i e e^i usando a fórmula de Euler:
ne^1+i = e,e^i = e(cos1 + isin1), e^i = cos1 + isin1

Passo 7

Substituindo e separando partes real e imaginária: o resultado é

Passo 8

Agrupando em a+ib:

Resposta

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