z=y(x, y)=e^y / x cdot ln (x^2y). Encontre partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Nesse exercício temos a função de duas variáveis
z(x,y)=e^y/xcdotlnl(tfracx^2yr),
e queremos as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y. O conteúdo aqui é regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Para calcular partial z/partial x, note que podemos escrever
z=Ucdot V,
onde U=e^y/x e V=ln(x^2/y). Pela regra do produto:
partial zpartial x=Ux,V+U,Vx
Agora usamos cadeia e derivada de logaritmo.

Passo 3

Vamos achar Ux e Vx:
  • Para U=e^y/x, pela regra da cadeia
Ux=e^y/xcdotddxl(tfracyxr)=e^y/xcdotl(-yx^2r)
  • Para V=ln(x^2/y)=ln(x^2)-ln y, como y é constante:
Vx=ddx(2ln x)=2x
Logo,
partial zpartial x=e^y/xl(-yx^2r)lnl(tfracx^2yr)+e^y/xcdot2x

Passo 4

Para partial z/partial y, usamos de novo regra do produto com U e V:
partial zpartial y=Uy,V+U,Vy
  • Para U=e^y/x, agora y varia e
Uy=e^y/xcdotddyl(tfracyxr)=e^y/xcdot1x
  • Para V=ln(x^2/y)=ln(x^2)-ln y, derivando em relação a y:
Vy=-1y
Então
partial zpartial y=e^y/xcdot1xlnl(tfracx^2yr)+e^y/xl(-1yr)

Resposta

As derivadas parciais ficam:
partial zpartial x=e^y/xl(2x-yx^2lnl(tfracx^2yr)r)
partial zpartial y=e^y/xl(1xlnl(tfracx^2yr)-1yr)

Exercícios relacionados