Resolva as integrais a seguir por substituição:
integral x^2raizx^3-4 d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral integral x^2raizx^3-4 , dx. O conteúdo principal é integração por substituição: precisamos encontrar uma função u=g(x) cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^3 - 4. Então derivando ambos os lados, temos du = 3x^2 , dx. A ideia do método é simplificar a expressão dentro da raiz tornando-a uma potência de u.

Passo 3

Reescrevemos x^2 , dx em termos de du e a raiz em termos de u. Como x^2 , dx = du3 e raizx^3-4=raizu=u^1/2, a integral vira:
integral x^2raizx^3-4 , dx = 13integral u^-1/2 , du .

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrar u^-1/2: integral u^n , du = u^n+1n+1 + C. Com n=-tfrac12, obtemos
13integral u^-1/2 , du = 13 cdot u^1/21/2 + C = 23u^1/2 + C .

Passo 5

Voltando à variável original substituindo u = x^3-4, chegamos na expressão final em função de x.

Resposta

23raizx^3-4 + C

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