integral cos 3 x+3sen 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cos 3x + 3sin 3x ,dx. O conteúdo envolvido é a integração de funções trigonométricas, mais especificamente usar a separação de frações em termos de cot e csc, e aplicar as fórmulas integral cot u,du = ln|sin u| + C e integral csc u,du = -ln|csc u + cot u| + C.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o integrando separando as parcelas:
cos 3x + 3sin 3x = cos 3xsin 3x + 3sin 3x = cot(3x) + 3,csc(3x)

Passo 3

Em seguida, aplicamos a substituição u = 3x. Então du = 3,dx ou dx = du3. Substituindo na integral, temos:
integral cot(3x),dx + 3 integral csc(3x),dx = integral cot(u) du3 + 3 integral csc(u) du3 = 13 integral cot(u),du + integral csc(u),du

Passo 4

Agora usamos as fórmulas conhecidas:
  • integral cot(u),du = ln|sin(u)| + C1.
  • integral csc(u),du = -ln|csc(u) + cot(u)| + C2.
    Logo,
13 integral cot(u),du + integral csc(u),du = 13 ln|sin(u)| - ln|csc(u) + cot(u)| + C

Passo 5

Por fim, revertendo u = 3x e reunindo as constantes em C, obtemos:
13 ln|sin(3x)| - lnl|csc(3x) + cot(3x)r| + C

Passo 6

Podemos também usar a identidade 1/(csc u + cot u)=csc u - cot u para reescrever o segundo termo como +ln|csc(3x)-cot(3x)|, ficando a forma alternativa mais enxuta.

Resposta

13 ln|sin(3x)| - lnl|csc(3x)+cot(3x)r| + C (ou equivalentemente 13 ln|sin(3x)| + ln|csc(3x)-cot(3x)| + C).

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