integral d x3 x^2-2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
integral dx3x^2-2x+4
Isso é uma integral de função racional em que o polinômio do denominador não fatoriza em raízes reais. Vamos usar o método de completar o quadrado e depois aplicar a fórmula
integral du1+u^2=arctan(u)+C

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 3x^2-2x+4. Fatoramos o coeficiente de x^2 e reorganizamos:
3x^2-2x+4 =3l(x^2-23xr)+4
Dentro do parêntese, escrevemos
x^2-23x =l(x-tfrac13r)^2-19
Logo,
3x^2-2x+4 =3l[l(x-tfrac13r)^2-tfrac19r]+4 =3l(x-tfrac13r)^2-tfrac13+4 =3l(x-tfrac13r)^2+tfrac113

Passo 3

Agora fatoramos tfrac113 para chegar ao formato A,(1+u^2):
3l(x-tfrac13r)^2+tfrac113 =113l[1+3,(x-tfrac13)^211r] =113l[1+l(3(x-tfrac13)raiz11r)^2r]
Portanto a integral fica
integral dx3x^2-2x+4 =integral dxtfrac113l[1+l(3(x-tfrac13)raiz11r)^2r] =311integral dx1+l(3(x-tfrac13)raiz11r)^2

Passo 4

Fazemos a substituição
u=3l(x-tfrac13r)raiz11 Longrightarrow du=3raiz11,dx Longrightarrow dx=raiz113,du
Assim
311integral dx1+u^2 =311integral raiz113,du1+u^2 =raiz1111integral du1+u^2

Passo 5

Usando integral du/(1+u^2)=arctan(u)+C, obtemos
raiz1111arctan(u)+C =raiz1111arctan!l(3(x-tfrac13)raiz11r)+C
Como 3(x-tfrac13)=3x-1, a primitiva final é

Resposta

integral dx3x^2-2x+4 =raiz1111,arctan!l(3x-1raiz11r)+C

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