(integral definida)
\int_{0}^{+\infty} s e^{-s / 2} d s;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} s\,e^{-s/2}\,ds.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias de funções exponenciais e a relação com a função Gama. Vamos usar uma substituição para transformá-la numa integral reconhecível.

Passo 2

Faça a substituição
u = \frac{s}{2}, de modo que s = 2u \quad\text{e}\quad ds = 2\,du.
Quando s varia de 0 a +\infty, u também varia de 0 a +\infty. Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{+\infty} s\,e^{-s/2}\,ds = \int_{0}^{+\infty} (2u)\,e^{-u}\,(2\,du).

Passo 3

No integrando, (2u)\cdot2 = 4u. Assim
\int_{0}^{+\infty} s\,e^{-s/2}\,ds = 4 \int_{0}^{+\infty} u\,e^{-u}\,du.
Reconhecemos
\int_{0}^{+\infty} u\,e^{-u}\,du = \Gamma(2)
pelo fato de
\Gamma(n+1) = \int_{0}^{+\infty} u^{n}e^{-u}\,du,
e para n=1 vale \Gamma(2)=1!\,=1. Portanto
\int_{0}^{+\infty} u\,e^{-u}\,du = 1.

Resposta

\int_{0}^{+\infty} s\,e^{-s/2}\,ds = 4.

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