(integral indefinida)
\int e^{3 \sqrt{s}} d s;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int e^{3\sqrt{s}}\;ds.
O conteúdo envolve técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{s},\quad s = u^2,\quad ds = 2u\,du.
Assim
\int e^{3\sqrt{s}}\,ds = \int e^{3u}\cdot 2u\,du = \int 2u\,e^{3u}\,du.

Passo 3

Para calcular \int 2u\,e^{3u}\,du, aplicamos integração por partes. Seja
A = 2u,\quad dB = e^{3u}\,du,
então
dA = 2\,du,\quad B = \frac{1}{3}e^{3u}.
Pela fórmula \int A\,dB = A\,B - \int B\,dA, vem
\int 2u\,e^{3u}\,du = 2u\cdot \frac{1}{3}e^{3u} - \int \frac{1}{3}e^{3u}\cdot 2\,du = \frac{2u}{3}e^{3u} - \frac{2}{3}\int e^{3u}\,du.
E como
\int e^{3u}\,du = \frac{1}{3}e^{3u},
obtemos
\int 2u\,e^{3u}\,du = \frac{2u}{3}e^{3u} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3u} = \frac{2u}{3}e^{3u} - \frac{2}{9}e^{3u} + C.

Passo 4

Voltando à variável original s com u = \sqrt{s}, concluímos
\int e^{3\sqrt{s}}\,ds = \frac{2\sqrt{s}}{3}e^{3\sqrt{s}} - \frac{2}{9}e^{3\sqrt{s}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{s}}{3}e^{3\sqrt{s}} - \frac{2}{9}e^{3\sqrt{s}} + C

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