(integral definida)
\int_{0}^{1} s e^{-3 s} d s;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de s e^{-3s} em relação a s. O conteúdo aqui é integração por partes, em que utilizaremos a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para a integração por partes:
u = s, \quad dv = e^{-3s}\,ds.
Dessa forma,
du = ds, \quad v = \int e^{-3s}\,ds = -\tfrac{1}{3}e^{-3s}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes, temos
\int s e^{-3s}\,ds = u\,v - \int v\,du = -\tfrac{1}{3}s e^{-3s} - \int\bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3s}\bigr)\,ds = -\tfrac{1}{3}s e^{-3s} + \tfrac{1}{3}\int e^{-3s}\,ds.
Calculando a integral remanescente,
\int e^{-3s}\,ds = -\tfrac{1}{3}e^{-3s},
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\int s e^{-3s}\,ds = -\tfrac{1}{3}s e^{-3s} - \tfrac{1}{9}e^{-3s} + C.

Passo 4

Para a integral definida, avaliamos de 0 a 1. Seja
F(s) = -\tfrac{1}{3}s e^{-3s} - \tfrac{1}{9}e^{-3s}.
Então,
\int_{0}^{1}s e^{-3s}\,ds = F(1) - F(0) = \bigl(-\tfrac{1}{3}e^{-3} - \tfrac{1}{9}e^{-3}\bigr) - \bigl(0 - \tfrac{1}{9}\bigr) = -\tfrac{4}{9}e^{-3} + \tfrac{1}{9} = \tfrac{1 - 4e^{-3}}{9}.

Resposta

\frac{1 - 4e^{-3}}{9}

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